Хитрые задачки МКЭ и МДТТ. Вопросы/обсуждения..

[Orchestra2603 224]

22 minutes ago, Jesse said:

отлично! но вы давайте это.. с картинками. А это все эти ваши лямбда плохо перевариваются непосвящёнными в задачу..)

Вот работа Williams'a, где коротенечко все это показано для плоской задачи. https://authors.library.caltech.edu/47672/1/382785.pdf

Вот картинка оттуда про порядок сингулярности в зависимости от граничных условий и величины угала.. Пойдет? ))

[Fedor 1 597]

https://ru.wikipedia.org/wiki/Базис   Тут можно посмотреть о полноте :)

[Jesse 958]

11 минут назад, Fedor сказал:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Базис   Тут можно посмотреть о полноте :)

Азы помним, азы знаем, азы курим :) к слову, в топологии весьма элегантные обобщения открытого интервала, непрерывности и прочее  без привлечения понятия меры, норм и длины.
Вот кстати хорошая статья на Вики на англ. Тоже про полноту есть
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space

[Fedor 1 597]

Тогда уж https://en.wikipedia.org/wiki/Complete_metric_space   .  На конечномерные пространства можно смотреть как на бесконечномерные с конечным числом ненулевых элементов. Тогда все определения вроде сходимости по Коши можно использовать. Кстати инженер по мостам и дорогам Коши и теорию упругости придумал, не только свой критерий сходимости  :) 

https://ru.wikipedia.org/wiki/Коши,_Огюстен_Луи   

[Jesse 958]

@Fedor по ходу многие французы начинали с инженерии и заканчивали чистыми математиками..) Пуанкаре пример ещё.

[Fedor 1 597]

В практике видели потребности развития математики... Сейчас чистые математики в основном ищут истоки для развития в самой математике. Ну и как постмодернисты стараются все сводить к неким языковым проблемам и текстам :) 

[Jesse 958]

08.02.2023 в 12:55, Orchestra2603 сказал:

Так вот, если брать все пространство L2

всё никак из головы не выходят аналогии с фурье-пространством...

а если функция не является частью L2, т.е. не квадратична-интегрируема?
https://en.wikipedia.org/wiki/Square-integrable_function
То такая функция уже не является частью полной системы,

то есть преобразование фурье для такой функции, например, может и не существовать..

 

Вообще выше говорили, что можно попридумывать всякие функции, которые в том числе выражают сингулярность, которые добавляются к имеющимся полиномиальным функциям формы. Можно ли это дело как-то отождествить с термином пополнение пространства, который частенько фигурирует в теории? см. например здесь

06.02.2023 в 12:43, Fedor сказал:

Обычно говорят о пирамиде Паскаля... 

а Батэ тоже встречается, но в несколько другом контексте - скорости сходимости для функций разных порядков

 

полистал Батэ про полноту. Вообще говоря,  полнота у него является лишь одним из условием сходимости (монотонной):

 

Большое внимание также уделяется условия постоянства деформации, особенно для несовместных сеток типа таких,

 

где для групп элементов деформации на границе должны быть равны 

 

 

 

Изменено 25 марта 2023 пользователем Jesse

[ДОБРЯК 602]

12 часов назад, Jesse сказал:

Большое внимание также уделяется условия постоянства деформации, особенно для несовместных сеток типа таких,

 

 

Вы покажите рисунок из работ Батэ. Насколько помню Батэ говорит про совместность сеток построенных по общим узлам. 

Если более строго говорить, то речь идет про совместность конечных элементов. Если конечные элементы совместные и отвечают условию полноты, то решение сходится монотонно к точному. 

А в вашем примере чтобы соединить эти сетки нужно записать нелинейные уравнения связи узел-элемент. Если вы знаете как записывать эти уравнения, то расскажите или дайте ссылку на работы Батэ. :=)

[Fedor 1 597]

"записать нелинейные уравнения связи узел-элемент. Если вы знаете как записывать эти уравнения" нелинейно надо найти только кси, эта, дзета для большого элемента граничащего с узлами мелкого. То есть решать нелинейные три уравнения каждый раз. А это быстро сходится. Проверял когда-то лет 25 назад или даже больше.  А потом легко записать линейные уравнения связывающие узлы большого элемента с  узлами маленьких граничащих с ним. :) 

В общем случае можно для совпадающих границ с не совпадающими узлами надо искать локальные координаты для  разных элементов.  То есть связать в одной точке xyz принадлежащей разным элементам перемещения через уравнения связи узлов. Можно и всякие скольжения и другие условия организовывать :)  

[ДОБРЯК 602]

1 час назад, Fedor сказал:

То есть решать нелинейные три уравнения каждый раз

Нелинейные уравнения связи узел-элемент нужно записать. Не решать нужно, а записать.)

Это граничные условия.

Как записать уравнения узел-узел все знают. Их не решают, их записывают. А вот как записать связь узел-элемент, никто сказать не может. Уже лет десять никто не может ссылку дать. :=)

[Fedor 1 597]

Дело в следующем. Нам известны произвольных координаты точек элементов в глобальной системе координат. Пусть для простоты одной общей для двух элементов.  Найдя по ним локальные координаты в элементах для данных точек можем записать перемещения в зависимости от узлов элементов. И далее приравнять, например, эти записи и получим условия связи через  глобальные узлы. Когда собираем ансамбль то нам по существу сразу известны локальные координаты узлов - единицы в соответствующем узле. И уравнение связи - просто единичные матрицы для векторов перемещений узлов. То есть просто складываем матрицы жесткости отдельных элементов в совпадающих узлах. А если локальные координаты не известны, то сначала их надо найти решая относительно них уравнение из базисных функций организованное. 

"связь узел-элемент"  можно связать одну точку элемента с другой точкой другого элемента так как описал выше.  Для этого надо знать их локальные координаты . Через них вычисляются базисные функции и определяются значения , например перемещений,  через линейную форму относительно узловых значений :) 

Цитата

Уже лет десять никто не может ссылку дать. :=)

Такое проделывал еще на ЕС ЭВМ ...    http://pinega3.narod.ru/fmin.htm  :) 

[ДОБРЯК 602]

10 минут назад, Fedor сказал:

 Найдя по ним локальные координаты в элементах для данных точек можем записать перемещения в зависимости от узлов элементов.

Перемещения внутри элемента зависят от перемещений в узлах элемента. Не от координат), а от перемещений. Это нелинейная зависимость. Для простейшего треугольника вы получите линейные уравнения, которые можно записать. А в общем случае это будет нелинейное уравнение.

Вы запишите связь 4-х узловой элемент - узел. Напишите на бумажке и сами все поймете. :=)

 

[Fedor 1 597]

Цитата

Перемещения внутри элемента зависят от перемещений в узлах элемента. Не от координат

Смелое утверждение, что перемещения в точке не зависит от координат точки в общем случае деформируемого тела.  Можно при таком выкинуть все буквари по механике деформируемого тела   :) 

[ДОБРЯК 602]

8 минут назад, Fedor сказал:

Смелое утверждение, что перемещения в точке не зависит от координат точки в общем случае деформируемого тела.

Федор вам видимо опять делать нечего, поэтому вы включили режим знайки. 

Если вы уже включили этот режим, то напишите это уравнение. Зависимость перемещений от координат узлов. Вы говорите очень много слов, что вы всё знаете, напишите это уравнение. Не нужно говорить много общих слов. Напишите это уравнение. :=)

[Fedor 1 597]

 

Цитата

 Это нелинейная зависимость.

 

https://ru.wikipedia.org/wiki/Интерполяционный_многочлен_Лагранжа  

Еще Лагранж предложил линейную зависимость от значений в узлах для интерполирующей функции.  Не стоит пренебрегать мнением отцов-основателей .  Эрмит тоже такого мнения  только добавил еще производных  в линейную форму  :) 

 

Так запишите такое же выражение для другого элемента относительно y  и приравняйте.  Это же очевидно :) 

Изменено 26 марта 2023 пользователем Fedor

[ДОБРЯК 602]

11 минут назад, Fedor сказал:

Еще Лагранж предложил линейную зависимость от значений в узлах для интерполирующей функции. 

Остапа несло...

Вот и напишите эту линейную зависимость для 4-х узлового элемента. Без лишних слов.

[Fedor 1 597]

Возьмите n=4 да вместо yi  и li какие-нибудь другие буквы для другого элемента.  "Вот и напишите эту линейную зависимость для 4-х узлового элемента" коль вам надо  :)  

[ДОБРЯК 602]

1 час назад, Fedor сказал:

И уравнение связи - просто единичные матрицы для векторов перемещений узлов. То есть просто складываем матрицы жесткости отдельных элементов в совпадающих узлах.

Уравнения связи узел-узел к матрицам жесткости отдельных элементов не имеет никого отношения. Вы записываете уравнение, что перемещение в первом узле = перемещению в узле два. 

Такие же уравнения связи записывают для элемент - узел.:=)

 

[Fedor 1 597]

"Уравнения связи узел-узел к матрицам жесткости отдельных элементов не имеет никого отношения."  Галлагера почитайте, вроде у него было об этом . О том почему и как объединяют в ансамбль элементов жесткости.   :) 

https://dwg.ru/dnl/3236   

"для элемент - узел" элемент это область пространства, то есть множество точек, а узел это точка. То есть может быть множество связей между множеством точек и одной точкой. Надо еще как то доопределять до однозначности... :) 

Изменено 26 марта 2023 пользователем Fedor

[ДОБРЯК 602]

26 минут назад, Fedor сказал:

"для элемент - узел" элемент это область пространства, то есть множество точек, а узел это точка. То есть может быть множество связей между множеством точек и одной точкой. Надо еще как то доопределять до однозначности...

Наконец вы начинаете понимать о каких уравнениях связи идет речь.

Вы когда делали заливку области вы решали нелинейные уравнения зная значения перемещений в узлах. Точно такие же уравнения при записи связи узел-элемент. 

Изменено 26 марта 2023 пользователем ДОБРЯК