Хитрые математические и физические задачки.

[Jesse 960]

вопрос на засыпку: почему в Фурье образе (FFT) 8-битного изображения вместо ярких белых точек с уровнем серого 255 появляются такие вот кресты, напоминающие мерцающие звёзды в ночном небе?

 

[Jesse 960]

быть может это что-то типа дисперсии и расплывании волнового пакета, из-за того что мы используем цифровые технологии и ввиду электронного шума? Давно про чё-то похожее читал, уже подзабыть успел..)

[Udav817 288]

24.02.2023 в 18:09, Jesse сказал:

А вы знали, что касательная к графику xy=a² образует с осями координат треугольник постоянной площади? Докажите..

Решение явно где-то на поверхности. Просто на свойствах прямой и особенности производной функции. Но у меня в каком-то моменте затыка.

Я пришёл к тому, что a^2=-(1/k)*b^2, где k и b - коэффициенты уравнения касательной y=kx+b. Причём, k<0.

Но вот дальше у меня не продвигается.

[Борман 2 375]

24.02.2023 в 14:09, Jesse сказал:

А вы знали, что касательная к графику xy=a² образует с осями координат треугольник постоянной площади? Докажите..

 

26.02.2023 в 17:39, Jesse сказал:

вопрос на засыпку

Думаю это связано с тем, что область мало того что конечная, да еще и не намного превышает размер самого узора.

Но хз.

[Jesse 960]

7 часов назад, Udav817 сказал:

Решение явно где-то на поверхности. Просто на свойствах прямой и особенности производной функции. Но у меня в каком-то моменте затыка.

тоже пришёл к тому, что надо связать геометрию и производную.. сделал для частных случаев через уравнение касательной, но для всех точек кривой не смог нормально оформить..)

 

5 часов назад, Борман сказал:

@Борман , работу над ошибками я бы начал с того, что вы неправильно нашли производную...))

5 часов назад, Борман сказал:

Думаю это связано с тем, что область мало того что конечная, да еще и не намного превышает размер самого узора.

пока что тоже остановился на этом объяснении. Ждём спеца, который даст исчерпывающее объясенение..))

[Борман 2 375]

20 минут назад, Jesse сказал:

@Борман , работу над ошибками я бы начал с того, что вы неправильно нашли производную...))

Ну-ка найди правильно.

22 минуты назад, Jesse сказал:

но для всех точек кривой не смог нормально оформить..)

Разрешаю у меня списать.

[Fedor 1 597]

https://rutube.ru/video/e910ae86faeeaa8e4458058ea717d2df/   :) 

[Jesse 960]

1 час назад, Борман сказал:

Ну-ка найди правильно.

 

y' = (a²x^-1)' = -a²x^-2

 

Ты же взял дифференциал произведения двух независимых функций и оттуда нашёл производную, что неверно..

На вот, если не доверяешь таблице производных..))

[Борман 2 375]

13 минут назад, Jesse сказал:

Ты же взял дифференциал произведения двух независимых функций

Я связал приращения переменных вдоль кривой xy=C.

xdy+ydx=0 - это и есть зависимость, только выраженная в виде дифуры.

[Fedor 1 597]

Считаем x константой , тогда дифференциал x dy=0 , потом считаем у константой тогда y dx=0  сложим и получим.  

[Fedor 1 597]

   :) 

[Jesse 960]

41 минуту назад, Борман сказал:

Я связал приращения переменных вдоль кривой xy=C.

xdy+ydx=0 - это и есть зависимость, только выраженная в виде дифуры.

ты мне производную то найдёшь?)

29 минут назад, Fedor сказал:

Считаем x константой , тогда дифференциал x dy=0 , потом считаем у константой тогда y dx=0  сложим и получим.  

@Fedor , у нас функция одной переменной..)

[Борман 2 375]

1 минуту назад, Jesse сказал:

ты мне производную то найдёшь?)

Я тебе задачу решил, а ты ко мне с производной пристаешь.

 

А с производной тебе Федор видос положил на 10 минут, смотри и изучай.

[Fedor 1 597]

Цитата

@Fedor , у нас функция одной переменной..)

Что мешает смотреть как на неявную функцию?   https://ru.wikipedia.org/wiki/Неявная_функция  

Уравнение окружности, эллипса... 

Изменено 28 февраля 2023 пользователем Fedor

[Orchestra2603 224]

On 2/24/2023 at 1:09 PM, Jesse said:

А вы знали, что касательная к графику xy=a² образует с осями координат треугольник постоянной площади? Докажите..

 

Предлагаю такое решение:

xy = a^2 ,   y(x) = a^2 / x,   y'(x) = - a^2 / x^2.

Будем строить касательную в точке с абcциссой x0. Т.е. в точке с координатми ( x0, y(x0) ).

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки (x1,y1), (x2,y2):  f(x) =( (y2-y1) / (x2-x1) ) * (x-x1) + y1.

Примем, что x1 = x0, y1 = y(x1), x2 = x0 +dx, y2 = y(x2).

Тогда: f(x) = (y(x0+dx) - y(x0) ) / dx * (x-x0) + y(x0). При dx -> 0 получаем:

f(x) = y'(x0) * (x-x0) + y(x0) = (-a^2 / x0^2 )*(x-x0) + a^2 / x0 - уравнение касательной. Я не смог его вспомнить по памяти, так что вывел сам, надеюсь правильно.

Далее пусть отрезок от O до точки пересечения касательной с осью ОY имеет длину h, а отрезок от O до точки пересечения касательной с осью ОX имеет длину b. Отсюда:

h = f(0) = (-a^2 / x0^2 )*(-x0) + a^2 / x0 = a^2 / x0 + a^2 / x0 = 2*a^2 / x0

f(b) = (-a^2 / x0^2 )*(b-x0) + a^2 / x0 = 0.  => b-x0 = (a^2 * x0^2 ) / (-x0*a^2) = x0. => b = 2*x0

Площадь треугольника: S = 1/2 *h*b = 0.5 * (2*a^2 * 2*x0) / x0 = 2a^2

 

 

 

Изменено 28 февраля 2023 пользователем Orchestra2603

[Orchestra2603 224]

2 hours ago, Jesse said:

y' = (a²x^-1)' = -a²x^-2

 

Ты же взял дифференциал произведения двух независимых функций и оттуда нашёл производную, что неверно..

Так тоже можно... Можно же записать как f(x,y) = a^2, где слева  функция двух переменных f(x,y) = xy, а справа, можно так себе это представить, вообще тоже какая-то функция. Если равны функции, то должны быть равны их приращения, т.е. полные дифференциалы:

d(f(x,y)) = d(a^2), отсюда df/dx * dx + df/dy * dy = 0.  Ну, и если дальше все подставить, как надо, то получается y' = dy/dx = -y/x. Тут нет никакой ошибки. И если подставить сюда y = a²/x из исходного уравнения, то как раз и получится -a²x^-2

[Fedor 1 597]

Можно и так :   dy/dx= -a**2/x**2;    Умножим на y/y   получим   - y*a**2 / ( x*( x*y)) = -y/x

При этом учли исходное  x*y =a**2   :) 

[Jesse 960]

28.02.2023 в 16:41, Fedor сказал:

Что мешает смотреть как на неявную функцию?   https://ru.wikipedia.org/wiki/Неявная_функция  

ничего не мешает :) всё правильно, замечание верное. С производной понятно

28.02.2023 в 17:04, Orchestra2603 сказал:

Предлагаю такое решение:

Решение хорошее, но годится лишь одной, конкретной точки на графике. Надо для всех точек: что-то типа бормановского решения, но грамотно оформленного..

Ну ладно, мы всё-таки инженеры, а не математики.. Будем считать задачу решённой

28.02.2023 в 16:18, Борман сказал:

А с производной тебе Федор видос положил на 10 минут, смотри и изучай.

видос кривоватый - чел там импровизирует. В итоге выкакал что-то вроде твоего решения..

[Борман 2 375]

55 минут назад, Jesse сказал:

Решение хорошее, но годится лишь одной, конкретной точки на графике. Надо для всех точек:

Точка x0,y0 - это не конкретная точка, а как раз любая.

57 минут назад, Jesse сказал:

видос кривоватый - чел там импровизирует. В итоге выкакал что-то вроде твоего решения..

Он мог плакать и звать маму, но решение он выдал правильное.

[Jesse 960]

7 минут назад, Борман сказал:

Точка x0,y0 - это не конкретная точка, а как раз любая.

уравнение касательной проводится не в любой, а в точке с известными координатами...

 

8 минут назад, Борман сказал:

Он мог плакать и звать маму, но решение он выдал правильное.

истинный инженер! (не математик)