Сходимость в моделях с shell181

[soklakov 1 476]

1 час назад, Fedor сказал:

Видите они же тоже функции сразу приводят как некое чудо . А я стремился каждого кто разберется с моих статьях сделать волшебником. :)

вижу...

вопросы ( я ведь пока не осилил разобраться в статьях): в них описано, как строить базис под заданную цель? или как строить базис, который лишен озвученных недостатков?

 

 в статье указано, что в источнике [6] авторы

Цитата

рекомендуют достаточно общий, но трудоемкий подход к построению изометрических аппроксимаций

это похоже, на то, что Вы пытались сделать, когда хотели каждого сделать волшебником?

[Fedor 1 602]

" 231 стр.  " Насколько понял они используют обычные базисные функции для трех переменных .  И для перемещения и для двух углов. Это вобще-то не те функции формы для 6 степеней свободы в узле...  Ближе к этому стр 272 но нет времени разбираться и базисных функций не увидел... 

[AlexKaz 1 825]

5 часов назад, Fedor сказал:

Вот и хотелось сделать технологию позволяющую делать элементы с наперед заданными свойствами через окаймляющие функции.

Что-то вспомнилось про X-FEM, где в довесок к стандартным слагаемым в функции перемещения (узла или элемента ) добавляется несколько членов.

Есть одна идейка как использовать подобный подход в ППД, но пока осмотрюсь не разродится ли кто другой. Не хочется пинками гнать людей без шила в одном месте - себе дороже.

А функцию перемещений (узла и элемента), насколько понимаю, можно писать хоть с тригонометрическими функциями, хоть со слагаемыми вида x*y*z^100, хоть x*sqrt(y/z) - дело сводится к скорости интегрирования множества уравнений при переводе из ЛСК в ГСК, а также к адекватному отражению реальности. Ряда Тейлора как бы всем хватало, и хватает до сих пор. Не нравится Тейлор - есть Фурье, где-то перед глазами мелькало и такое (но, кажется, ошибаюсь). Слагаемых в ряде Тейлора можно взять хоть миллиард при желании, где-то были новости про 64?-хузловые элементы - сделать больше не вопрос.

Изменено 25 декабря 2018 пользователем AlexKaz

[AlexKaz 1 825]

Про ряд Тейлора - мало кто понимает что функция деформаций он и есть, хоть "малые" возьми, хоть "большие". А чего не взять третью производную, четвертую-десятую? Ух, подумают некоторые, как точность возрастет! )) А не факт ) Но вычислительная сложность вырастет, это факт.

 

Изменено 25 декабря 2018 пользователем AlexKaz

[Fedor 1 602]

Можно посмотреть главу 6 Съярле https://www.twirpx.com/file/253053/    стр 326 " Основной источник этих трудностей состоит, конечно, в требовании непрерывности частных производных первого порядка при переходе между соседними конечными элементами.  " И на стр 346 целая куча разных треугольников. Сами понимаете прочитав такое я просто не мог не попробовать преодолеть эту трудность через базисные функции и просто проверить придуманную технологию  для общего случая  :) 

Изменено 25 декабря 2018 пользователем Fedor

[Fedor 1 602]

На стр 72 определены элементы с производными в качестве степеней свободы. Съярле называл их эрмитовыми. Вот такие и стремился строить в общем случае :) 

[ILL 241]

12 часа назад, averome сказал:

Поражаюсь вашей выдержкой

 

Так было далеко не всегда..  Были схватки боевые, да говорят ещё какие (с)..

Админам приходилось до красна баню жарить..

[AlexKaz 1 825]

Насколько понимаю, отталкиваются от вида функции внешней работы и функции кинетической и потенциальной энергии. Например, если потенциальная энергия оболочечного элемента определяется как функция третьей производной - в ряде Тейлора не имеет смысла брать более четырех-пяти слагаемых, т.к. они занулятся.

[Fedor 1 602]

Вообще-то условие ограниченности полинома эквивалентно ужесточению конструкции. Это по сути теорема Лагранжа об условном экстремуме. Условия всегда ухудшают экстремум. Так что чем выше степень полинома тем ближе приближение к истинному  решению ... :) 

[ДОБРЯК 606]

58 минут назад, Fedor сказал:

Так что чем выше степень полинома тем ближе приближение к истинному  решению ...

Это все, например, у Зенкевича написано.

Пока ничего нового не придумали...

 

[hr4d 87]

Вот кстати. Пособие по вычислению Добряков ггг

527636977.pdf

[Fedor 1 602]

Все слова где-нибудь да написаны. Придумать ничего в принципе не возможно. А то что чем больше членов ряда берем тем точнее приближаем и Тейлор знал :) 

[ДОБРЯК 606]

1 час назад, Fedor сказал:

Придумать ничего в принципе не возможно.

Так чему верить. Этим словам или этим

16 часов назад, Fedor сказал:

А общей конструктивной теории построения до меня не было

Все уже читали подобное на этом форуме. Ссылку я уже давал. И в этой области ничего нового. 

Пока только общие слова. Уже десять лет одно и тоже. На сегодняшний день никаких новых конечных элементов никто не видел.

Если у вас есть новая теория, то где новые КЭ построенные по этой теории? Где тесты? Где сравнение с КЭ Настран, Ансис и т. д?

Пока только общие слова и самореклама.

[Борман 2 380]

6 часов назад, hr4d сказал:

Вот кстати. Пособие по вычислению Добряков ггг

527636977.pdf

Пособие "по вычислению" придумали гораздо раньше.

https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Молот_ведьм

 

[ДОБРЯК 606]

13 часа назад, soklakov сказал:

попалась интересная статья по этой теме.

Хорошо написанная статья. Есть стандартный базис бикубической интерполяции полученный в 1968 году.) И есть альтернативный базис полученный в 1982.)

И обсуждается вопрос физической правдоподобности и математической безупречности поузлового распределения равномерной массовой силы. Проводится сравнение распределения.

Постоянно идут ссылки на работы Зенкевича. 

Грамотно написанная статья, поэтому приятно читать. @soklakov спасибо.

А когда нет базисных функций и нет конечных элементов, то что можно обсуждать.

Только рассказывать на форуме, что

22 часа назад, Fedor сказал:

А общей конструктивной теории построения до меня не было

 

 

 

[Fedor 1 602]

За исключением того, что нарушается принцип унисольвентности и полноты в выдуманных функциях. Таких с нулями и единицами в узлах можно выдумать бесконечно много без проблем    :) 

Где-то рисовали же пирамидки Паскаля для анализа правильности е единственности базисных функций :) 

Изменено 26 декабря 2018 пользователем Fedor

[ДОБРЯК 606]

2 часа назад, Fedor сказал:

За исключением того, что нарушается принцип унисольвентности и полноты в выдуманных функциях.

И где они эти ваши выдуманные функции.  Вы на логарифмической линейке проверили что они не нарушают принцип полноты. Или на счетах.   

Ну одно и тоже в течении десяти лет. Скучно с вами, не интересно.

На ЗИЛе это называлось раздувать щеки и пускать пыльные пузыри.)

[Fedor 1 602]

И где тот ЗИЛ с немецкими программками ?   Это не мои выдуманные, а в статье выдуманные. Мы же интерполируем в классе функций задаваемого базисными функциями. Понятно что существует множество способов провести функции даже через две точки. Простейшие  это прямые. Как в букварях по мкэ. Понятно что и любые степени этих функций будут иметь нули и единицы там же где и эти линии. Но если мы хотим чтобы любые функции мы могли приближать эффективно есть теорема Вейерштрасса  о полноте. Проверяют не на вычислительных устройствах, а в голове. Это главный инструмент :)

Изменено 26 декабря 2018 пользователем Fedor

[Fedor 1 602]

https://ru.wikipedia.org/wiki/Завод_имени_Лихачёва#Закрытие_завода 

 

[ДОБРЯК 606]

14 минуты назад, Fedor сказал:

Мы же интерполируем в классе функций задаваемого базисными функциями. Понятно что существует множество способов провести функции даже через две точки. Простейшие  это прямые.

Цитата

1.1.7. Критерии сходимости

 

Всякое упругое тело имеет бесконечно большое число степеней свободы. В МКЭ деформированное состояние тела определяется значением конечного числа степеней свободы. Ограничение числа степеней свободы равносильно введению дополнительных внутренних связей, что приводит к завышению жесткости тела по сравнению с истинной. В этом случае перемещения, получаемые в МКЭ, будут в среднем меньше их точных значений.

При сгущении конечно-элементной сетки число степеней увеличивается. Важно установить, при каких условиях это будет сопровождаться сходимостью конечно-элемент­ного решения к точному. Существенное значение имеет также скорость сходимости. Если скорость сходимости велика, то можно получить удовлетворительное решение даже на достаточно грубой конечно-элементной сетке. Так как МКЭ является очень громоздким численным методом, вопросы сходимости в основном исследуют путем численного эксперимента на тестовых задачах, для которых известно точное аналитическое решение.

Но некоторые общие вопросы сходимости поддаются теоретическому анализу [6]. При теоретическом анализе удобнее всего судить о сходимости по величине введенного в вариационном принципе Лагранжа функционала , зависящего от поля перемещений  (см. п.1.1.1).

В случае объемных внешних сил  он имеет вид:

 

где:  - поле деформаций, зависящее от первых производных от  перемещений по координатам.

Пусть:  - точное поле перемещений тела, а  - решения МКЭ при данной сетке.

В соответствии с принципом Лагранжа - , причем: 

 

Так как в  входят кроме  также и первые производные по координатам ( и т.п.), то ясно, что для выполнения указанной сходимости функционала  необходимо, чтобы поле перемещений аппроксимировалось по крайней мере полным полиномом первой степени, например, в случае трехмерного конечного элемента должно быть:

                                                         (1.1.7.1)

 

Деформации будут тогда аппроксимироваться полным полиномом не ниже нулевой степени:

                                                        (1.1.7.2)

 

Сформулированное здесь необходимое условие сходимости называют иногда условием полноты конечного элемента.

В теории МКЭ доказана теорема, утверждающая что для сходимости  достаточно, чтобы конечные элементы:

1) удовлетворяли условию полноты;

2) были совместными.

Кроме того, утверждается, что при выполнении условий теоремы сходимость  будет монотонной.

Поле перемещений  также будет монотонно сходиться к точному - .

Именно поэтому так важно условие совместности элементов.

Если же элементы несовместные,  то сходимость решения МКЭ к точному имеет место, только если в пределе (т.е. по мере сгущения сетки) в аппроксимирующих  функциях члены, создающие несовместность, будут становиться исчезающе малыми [6]. Но сходи­мость несовместных элементов, вообще говоря, уже не будет монотонной.

Скорость сходимости определяется порядком аппроксимирующих полиномов. Так если  - порядок полных полиномов в аппроксимирующих функциях, то погрешность элементов в энергии , где  - максимальный диаметр элемента [6].

Так рассмотренные в п.1.3.1.1 треугольный трехузловой элемент и в п.1.3.1.2 четырехугольный четырехузловой элемент имеют погрешность  (т.к. для них ), тогда как рассмотренный в п.1.3.1.3. четырехугольный 8-и узловой элемент с параболическими ребрами имеет погрешность   (т.к. ). Видим, что с ростом порядка полного полинома в аппроксимирующих функциях скорость сходимости значительно растет.

Нужно чтобы КЭ 2) были совместными. Базисные функции свои (уникальные) скопируйте на форум. Чтобы был предметный разговор. Чтобы можно было проверить.