Хитрые математические и физические задачки.

[Orchestra2603 243]

1 hour ago, Jesse said:

Пойдёт

Но ждём проще и красивше :)

Придумал! :) прям красота..

Ищем решение уравнения sin(z) = A, где z = a +ib.  Пусть А - вещественное число

Тогда просто синус суммы: 

sin(a+ib) = sin(a)*cos(ib) + cos(a)*sin(ib)

Есть такие тождества: cos(ib) = ch(b),  sin(ib) = i * sh(b), Отсюда получаем:

sin(z) = sin(a)*ch(b) + i * cos(a)*sh(b) = A + i*0. Приравниваем вещественные и мнимые части слева и справа и получаем систему.

 

sin(a) * ch(b) = A

cos(a)*sh(b) = 0

 

Начинаем со второго уравнения. Есть два варианта.

1. sh(b) = 0 и тогда b =0 (т.е. тогда z - вещественное число, т.к. нет мнимой части)

Тогда в первом уравнении ch(b) = ch(0) = 1 и мы приходим к sin(a) = A, где a и А - действительные числа. Имеет место классическое дейтвительное решение  z = a = (-1)^k * arcsin(A) + pi*k, k - целое число. Оно существует только если |A|=< 1. Иначе равенство sin(a) = A не выполняется ни при каких a, и мы можем заключить, что тогда с самого начала sh(b) не есть 0, и тогда b не 0, Тогда рассмотрим второе решение.

 

2. cos(a) = 0 и тогда sin(a) = 1 или -1 и ch(b) =  A или -A. Чтобы решение существовало, нужно чтобы знак sin(a) был согласован со знаком A, т.к. ch(b) всегда строго >0. 

Т.е. a = pi/2 + 2*pi*k, если A>0 или a = - pi/2 + 2*pi*k, если A<0.  k - целое число

b = arcch(A) = ln[A + SQRT(A^2 -1) ]. Формула из Википедии (https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_functions). Но и вывести ее в принципе не особо сложно.

Поскольку b - вещественное число, то логарифм тоже должен быть вещественным, а он может быть таковым, только если его аргумент вещественный, поэтому под корнем должно быть неотрицательное число. Т.е., это решение существует, только если |A| >=1.

 

Тогда z = sign(A) * pi/2 + 2*pi*k + i * ln[A + SQRT(A^2 -1) ].

 

Если подставляем сюда A=2, то (возьмем главное значение для k=0):

z = pi/2 + i * ln[2 + SQRT(3)] = 1,57079 + i* 1,316958.  Как у вас и получилось. ))

 

Изменено 18 октября 2023 пользователем Orchestra2603

[Orchestra2603 243]

37 minutes ago, Orchestra2603 said:

....

Тогда z = sign(A) * pi/2 + 2*pi*k + i * ln[A + SQRT(A^2 -1) ].

....

 

z = sign(A) * pi/2 + 2*pi*k + i * ln[ |A| + SQRT(A^2 -1) ], вот так, если быть уж совсем точным, там нужен |A| внутри логарифма, поскольку на самом деле там для мнимой части решается ch(b) = |A| после согласования знаков.

Изменено 18 октября 2023 пользователем Orchestra2603

[Orchestra2603 243]

1 hour ago, Orchestra2603 said:

...

b = arcch(A) = ln[A + SQRT(A^2 -1) ]. 

...

 

И здесь еще неточность. Если b - есть корень уравнения ch(b) = |A|, то и -b - тоже, поскольку ch(x) - функция четная. Так что, должен быьб +- логарифм. Т.е. финальный ответ:

z = sign(A) * pi/2 + 2*pi*k + i * +- ln[ |A| + SQRT(A^2 -1) ]

[Ninja 124]

История о том, как два туркмена одного Гюйгенса нахлобучили...

 

Цитата

всё началось с того, что при решении прикладной задачи по раскройке винтообразной лопасти ветрового генератора мы столкнулись с необходимостью определить радиус кривизны кромки лопасти. В поисках ответа мы привычно обратились к справочнику М.Я. Выгодского, 1987 г., издание двадцать седьмое, исправленное, и нашли там «Формулу длины дуги Гюйгенса». Кромка нашей лопасти представляла собой дугу, описанную в справочнике, но в формуле Гюйгенса мы ответа на свой вопрос не нашли. Поиски этого радиуса, приведшие к новому пониманию природы дуги Гюйгенса, описаны в нашей статье.

 

 

[Ninja 124]

  Новогодняя сказка задача!  

Имеется восемь одинаковых рюмок с водкой! В семи рюмках налито ровно 100грамм водяры, а в одной 101граММ!

Имеются весы , на которых можно это всё взвешивать. Задача состоит в том, чтобы определить ту самую рюмку с 101гр водки!!!

В чём проблема, вы спросите, а я отвечу - весами можно воспользоват ься лишь ДВА рАзА! 

Как быть???

[Jesse 979]

1 час назад, Ninja сказал:

  Новогодняя сказка задача!  

Имеется восемь одинаковых рюмок с водкой! В семи рюмках налито ровно 100грамм водяры, а в одной 101граММ!

Имеются весы , на которых можно это всё взвешивать. Задача состоит в том, чтобы определить ту самую рюмку с 101гр водки!!!

В чём проблема, вы спросите, а я отвечу - весами можно воспользоват ься лишь ДВА рАзА! 

Как быть???

ухх, ну @Fedor точно оценит эту задачку
он у нас любит алкогольные аналогии, задачи и сравнения

[Fedor 1 630]

"любит алкогольные аналогии, задачи и сравнения" я водку не люблю. Я ее пить люблю. И то не всегда  :) 

[Борман 2 397]

2 часа назад, Ninja сказал:

Как быть???

 

Первый замер (3 рюмки) + (3 рюмки). Дальше просто.

[Fedor 1 630]

А если весы пружинные ?   Видно же где больше налито. Там же на целый процент больше :)

[Ninja 124]

1 час назад, Борман сказал:

Дальше просто.

Великолепный ответ! Главное без деталей

 

40 минут назад, Fedor сказал:

А если весы пружинные ? 

Не надо демагогии Федя! Только логическое мышление! И точка!

1 час назад, Fedor сказал:

И то не всегда  :) 

Я добавлю - а только тогда, когда добрые люди нальют! Халявщик ты @Fedor

[Fedor 1 630]

Мышление не нальешь. И им не закусишь :) 

Зайдите в хозяйственный магазин и посмотрите какие весы можно купить ...  У меня есть чашечные со времен химической фотографии, но в них стакан или рюмку и не поставишь. Мы же на инженерном форуме, и мыслить надо чисто конкретно и реалистично, а не логично :) 

[Ninja 124]

48 минут назад, Fedor сказал:

Мы же на инженерном форуме, и мыслить надо чисто конкретно и реалистично, а не логично :)

ну если так, то вы рискуете стать Добряк2

Он тоже любитель конкретизировать до абсурда...

[Fedor 1 630]

Кто не рискует, тот не только шампанского не пьет, а даже и пива. С водкой. Или наоборот водки и пива

http://www.pinega3.narod.ru/   :) 

Изменено 22 декабря 2023 пользователем Fedor

[Борман 2 397]

Квартет Энскомба состоит из четырех наборов данных, которые имеют почти идентичную простую описательную статистику, но имеют очень разные распределения и выглядят очень по-разному при построении графиков. 

Каждый набор данных состоит из одиннадцати (x, y) точек. Они были построены в 1973 году статистиком Фрэнсисом Энскомбом, чтобы продемонстрировать как важность построения графиков данных при их анализе, так и влияние выбросов и других влиятельных наблюдений на статистические свойства. 
 
Все эти четыре набора имеют одинаковое средние значения абсцисс и ординат. Совпадают и среднеквадратические отклонения, и для всех графиков "работает" одно уравнение линейной регрессии y = 3+0,5x

[maxx2000 738]

Как решить уравнение у которого нет решений?

[Борман 2 397]

1 час назад, maxx2000 сказал:

Как решить уравнение у которого нет решений?

Решить уравнение - значит найти все его корни или показать что их нет.

Отвечая на вопрос.. необходимо доказать что нет решений, тем самым уравнение будет решено.

[Fedor 1 630]

Можно переопределить до определенности и наличия решения.  Так часто делают используя, например, метод наименьших квадратов или переходя в другое пространство. Например в пространство комплексных чисел... :) 

[Jesse 979]

23.12.2023 в 07:20, Борман сказал:

Все эти четыре набора имеют одинаковое средние значения абсцисс и ординат. Совпадают и среднеквадратические отклонения, и для всех графиков "работает" одно уравнение линейной регрессии y = 3+0,5x

хорошая демонстрация того, что модели линейной регрессии во многих ситуациях оченб плохо работают...

[Fedor 1 630]

Хорошая демонстрация почему стоит пользоваться квадратичными элементами, а не линейными. Ну или для интерполяции функций использовать квадратичные, а для вычисления объемов можно и линейные. Или так поступать - http://pinega3.narod.ru/hier.htm   :)

[Борман 2 397]