Хитрые задачи в МКЭ и МДТТ

[waze4534 0]

Необходимо рассчитать предельную нагрузку на подвешенную емкость. Как провести анализ не ограничив геометрию емкости? 

[Orchestra2603 226]

On 5/9/2024 at 9:37 AM, ДОБРЯК said:

вот смотрите что получается

 

Это уже больше похоже на конструктивный разговор.

 

Я это понимаю. Мой тезис заключается в том, что когда мы ищем собственные вектора, мы вообще не решение ищем. Ну, не совсем решение, если хотите. В терминах СЛАУ можно сказать, что мы ищем базисные вектора фундаментальной системы решений. Нам не нужно что-то фиксировать и вводить какие-то точки отсчета. Нам нужно установить все пространство возможных решений однородной системы целиком, и потом из него просто выделить некоторый базис. Это не то же самое, что найти решение СЛАУ.

 

Про факторизацию... В моем понимании факторизация (в частоности, матрицы) - это разложение на множители (здесь на матричные множители), так чтобы получились какие-то другие матрицы, которые обладают какими-то выгодными свойствами (разложение Холецкого для положительно определенных матриц, LU, QR, QZ, сингулярное разложение и т.д.) В моем понимании это обычно нужно для повышении эффективности последующих операций, ускорения работы алгоритмов, для лучшей сходимости итерационных методов, где-то для эффективной параллелизации и т.д. Ничего не слышал раньше о ситуациях, когда факторизация жизненно необходима, и без нее задача не решается. Как я это вижу, существует много различных способов факторизации матрицы. Я просто не могу понять про какую конкретно факторизацию вы говорите и не могу понять, как она должна помочь, и почему ее невозможно сделать для вырожденной матрицы? Я бы, честно говорю, хотел разобраться в этом. Возможно, я что-то вообще неправильно понимаю.

[Fedor 1 602]

    верхняя линия это если не учитываем давления воздуха, а нижняя если учитываем.  То есть если не учитываем то считаем грунт более прочным чем на самом деле ...  

[ДОБРЯК 606]

3 часа назад, Orchestra2603 сказал:

Мой тезис заключается в том, что когда мы ищем собственные вектора, мы вообще не решение ищем. Ну, не совсем решение, если хотите. В терминах СЛАУ можно сказать, что мы ищем базисные вектора фундаментальной системы решений.

Хорошо. Можно тоже самое написать еще раз.

Вы ищите решение СЛАУ. И чтобы найти это решение вы задаете уравнение, что  перемещение какой-то степени свободы равна какому-то числу. Но в данном примере всего два уравнения, всего две степени свободы. 

И сказав, что перемещение первой степени свободы равно 1, например, у вас остается одно уравнение с одним неизвестным. 

А если у вас СЛАУ из 100 уравнений, вы скажите, что перемещение первой степени свободы равно 1, например.

Но как найти остальные 99 неизвестных не решая СЛАУ? Нужно решать в общем случае?  

3 часа назад, Orchestra2603 сказал:

Про факторизацию... В моем понимании факторизация (в частоности, матрицы) - это разложение на множители (здесь на матричные множители), так чтобы получились какие-то другие матрицы, которые обладают какими-то выгодными свойствами (разложение Холецкого для положительно определенных матриц, LU, QR, QZ, сингулярное разложение и т.д.)

Решайте любым методом. Вы скажите нужно СЛАУ решать для нахождения собственных векторов. 

Предлагаю двигаться маленькими шажками. Если нужно решать СЛАУ, то это один путь развития диалога, если не нужно, другой.

[ДОБРЯК 606]

4 часа назад, Orchestra2603 сказал:

В моем понимании факторизация (в частоности, матрицы) - это разложение на множители (здесь на матричные множители)

Численная факторизация - это приведение матрицы к треугольному виду. Дальше идет работа с правой частью. 

[Fedor 1 602]

https://ru.wikipedia.org/wiki/Факторизация  :)  

[ДОБРЯК 606]

7 минут назад, Fedor сказал:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Факторизация  :)  

Где в этой ссылке сказано про численную факторизацию симметричной матрицы методом Холецкого или методом Гаусса? :=)

 

[Fedor 1 602]

Та дано определение концепта факторизации . Любой. Мелочи не обязательно перечислять. Покопайтесь, может в английской или другой статье о факторизации есть :)

 

Цитата

Матрица может также быть факторизована на произведение матриц специального вида для приложений, в которых эта форма удобна. Одним из основных примеров этого является использование ортогональных, унитарных и треугольных матриц. Существуют различные способы факторизации: QR-разложение, LQ, QL, RQ, RZ.

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_decomposition    :)

Изменено 10 мая пользователем Fedor

[ДОБРЯК 606]

54 минуты назад, Fedor сказал:

Покопайтесь

Вот и покопайтесь. Тогда может быть поймете почему я говорю о приведении матрицы к треугольному виду. И может поймете почему так делают, когда меняется только правая часть (собственные вектора).

Один раз делается численная факторизация. Вы то конечно можете решать и итерационным методом. И давать ссылку на википедию. Решайте как хотите. Но вы даже не понимаете, что для определения собственных векторов нужно СЛАУ решать...:=)

[Fedor 1 602]

Вы хоть выверяйте по учебникам смысл слов которые употребляете. Иначе вас никто не сможет понять  :) 

Изменено 10 мая пользователем Fedor

[ДОБРЯК 606]

10 минут назад, Fedor сказал:

Иначе вас никто не сможет понять  :) 

Вы не говорите про всех, вы про себя говорите. Так и пишите я не могу понять. :=)

[Fedor 1 602]

Никто же не написал, что понял вас :)

[ДОБРЯК 606]

15 часов назад, Fedor сказал:

Никто же не написал, что понял вас :)

Я вижу, что вы не поняли. А говорили, что это знали еще в детском саду...

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%B0

Читайте внимательно. :=)

 

Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы.

 

Изменено 11 мая пользователем ДОБРЯК

[Orchestra2603 226]

20 hours ago, ДОБРЯК said:

И сказав, что перемещение первой степени свободы равно 1, например, у вас остается одно уравнение с одним неизвестным. 

А если у вас СЛАУ из 100 уравнений, вы скажите, что перемещение первой степени свободы равно 1, например.

Но как найти остальные 99 неизвестных не решая СЛАУ? Нужно решать в общем случае?  

Ладно. Я примерно понял, что вы имеете в виду. В теории, даже чтобы выделить n-ный базис нужно зафиксировать какие-то значения n раз. Только надо так их задавать, чтобы каждый раз получались линейно-независимые вектора. Я бы не называл это "закреплением", потому что возникает ложная кажущаяся параллель со статическим решением, где мы ищем единственное решение и для этого фиксируем какие-то компоненты, хотя здесь цель расчета принципиально иная. Это, как по мне, приводит к путанице, но если вам нравится это так называть, то - пожалуйста. Кто я такой, чтобы вам запрещать)

 

20 hours ago, ДОБРЯК said:

Нужно решать в общем случае?

Я не могу сказать, что решать нужно всегда. В моем понимании в определенных итерационных схемах собственные вектора получаются полседовательными приближениями сами по себе. Применяя всякие манипуляции к матрицам (сдвиги и т.д.) можно контролировать сходимость к наибольшему, наименьшему, i-му и т.д. собственному вектору. Я не прав?

 

Что касается факторизаций, то для любых квадратных матриц существует разложение Шура, где ортогональными преобразованиями матрица приводится к треугольной форме. В частности, для обобщенной задачи, вот выдержка из статьи. Алгоритм получаения такого разложения для обобщенной задачи называется QZ алгоритм. Он вовсю используется в Матлабею Я не вижу никаких препятствий принципиальных, чтобы получить такую факторизацию матриц.

 

 

Т.е. похоже, что, да, все же приходится решать СЛАУ, в общем случае для треугольной матрицы A-lambda*B. И покуда lambda будет собственным значением, вся матрица A-lambda*B будет вырождена. В частности, для нулевых СЗ A-lambda*B = A, и А, сама собой, вырождена.

 

Но.. не могу пока сказать точно, но вроде как если A и B - симметричны, то QAZ и QBZ из треугольных превращаются в диагональные, и тогда столбцы Q становятся автоматически собственными векторами (разложение Шура переходит в спектральное), т.е. и решать ничего не приходится. Но где-то пишут, что нужна положительная определенность, где-то пишут, что только симметрии достаточно... не могу пока точно сказать.

 

Изменено 11 мая пользователем Orchestra2603

[ДОБРЯК 606]

2 часа назад, Orchestra2603 сказал:

В теории, даже чтобы выделить n-ный базис нужно зафиксировать какие-то значения n раз.

В общем стартовые моменты зафиксировали.

[Fedor 1 602]

https://ru.wikipedia.org/wiki/LU-разложение  Вот что делается... :)

 

https://en.wikipedia.org/wiki/LU_decomposition

Изменено 11 мая пользователем Fedor

[ДОБРЯК 606]

Если до решения сделать такой сдвиг, для вырожденной матрицы [К]

[К]+w*[М], то эта матрица уже не будет вырождена. То после решения вместо нулевой первой собственной частоты, какую частоту мы получим?

 

Например w=100, какая будет первая собственная частота вместо нуля?

[ДОБРЯК 606]

14 часов назад, Fedor сказал:

https://ru.wikipedia.org/wiki/LU-разложение  Вот что делается... :)

 

Вы напишите, что делается своими словами, для матрицы жесткости К. Если понимаете, что делается.:=)

К=LU, где L— нижняя треугольная матрица, а U — верхняя треугольная матрица.

МКЭ программа после численной факторизации хранит две треугольные матрицы для работы с правой частью?

Покажите свои знания. 

 

[Fedor 1 602]

https://files.stroyinf.ru/Data/740/74099.pdf   судя по этому  ( 9.1   9.2 ) атмосферное давление на грунт не учитывается хотя действует ... 

Изменено 13 мая пользователем Fedor

[Fedor 1 602]

https://ru.wikipedia.org/wiki/Атмосферное_давление#/media/Файл:Magdeburger-Halbkugeln.jpg   :)

 

[Jesse 961]

@Fedor я знаю к чему вы клоните...
ДаВлЕнИеСкАлЯрНаЯвЕлИчИнА
и опять вечные споры с Добряком