Jesse

Хитрые математические и физические задачки.

975 posts in this topic
Pinned posts

Чтобы все могли отвлечься от своих обычных рутинных обязанностей в плане решения инженерных прикладных задач, решил создать тему, в которую все могли бы кидать интересные задачки по математике и физике.. с акцентом на логику и смекалку и с минимальным уровнем математической и физической подготовки (7-9 кл. школы). 
Как-то ~месяц назад в одну из флеймовских тем уже кидал одну такую задачку, вроде некоторым даже понравилось, пытался решать народ.. недавно делал уборку в кладовке, и в стопке старых книг нашёл тетрадь со спец курсов по математике за 10-11кл, где нам и давали всякие такие задачки, содержащие уровень знаний 8-го класса, но ооочень хитрые:smile: и вот решил создать отдельную тему. Сам я тогда учился в физ-мат лицее, но учился так себе, и мало что мог решить из подобного рода задач.
Кину сразу 2 задачки: первая простая, вторая - посерьёзней, как раз со спец-курсов тех.

Вот та что попроще:

p0008.thumb.png.4e5fbd9d2d709b183096d67ffbe109ff.png

1.thumb.png.451efcd8574aa9e3faffc876de7322d2.png

 

Ну а вот задачка специально для гуру ветки CAE "Динамика и прочность":biggrin:


Пусть a, b и с - стороны треугольника. p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.

Доказать неравенство: 1/(p-a)^2  +  1/(p-b)^2  +  1/(p-c)^2  >=  1/r^2. 
Рисунок не прикладываю, думаю итак всё ясно

В общем, дерзайте:smile: и свои задачки интересные тоже скидывайте, особенно взрослое поколение.. в советском союзе  школа поинтересней была.. и сильней!))

1 person likes this

Share this post


Link to post
Share on other sites


UnPinned posts
4 минуты назад, Jesse сказал:

Maple и Mathematika разные результаты дают

@Jesse Гы..... Mathematika.

Это к вопросу об умении писать.

Теперь об умении читать:

34 минуты назад, Blurp сказал:

Но и то, что ты мальца в степеньях загоняешься - тоже доставляет.  

Для особо одаренных надо выделить, наверное:

(x^5 + 2 x^4 + 4 x + 4)/(x^4 + 2 x^3 + 2 x^2)

Чтобы можно было сравнить с тем, что в очередной раз разгуглил добуяк в качестве "задания".

Скрытый текст

88.png

:smile:

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 763   Posted (edited)

У меня было вверху  2 x**4  вместо  2 x**3  . Мелкая опечатка не сказывающаяся на существе дела.  Пока писал и другие нашли опечатку :)

 

 

In[32]:=
a = \[Integral](x^5 + 2 x^3 + 4 x + 4)/(
   x^4 + 2 x^3 + 2 x^2) \[DifferentialD]x
Simplify[a]


Out[32]= -(2/x) - 2 x + x^2/2 - 2 ArcTan[1 + x] + 2 Log[2 + 2 x + x^2]

Out[33]= -(2/x) - 2 x + x^2/2 - 2 ArcTan[1 + x] + 2 Log[2 + 2 x + x^2]

In[34]:= Simplify[\!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(x\)]\((\(-
\*FractionBox[\(2\), \(x\)]\) - 2\ x +
\*FractionBox[
SuperscriptBox[\(x\), \(2\)], \(2\)] - 2\ ArcTan[1 + x] +
     2\ Log[2 + 2\ x +
\*SuperscriptBox[\(x\), \(2\)]])\)\) -  (x^5 + 2 x^3 + 4 x + 4)/(
  x^4 + 2 x^3 + 2 x^2)]

Out[34]= 0

Edited by Fedor

Share this post


Link to post
Share on other sites
7 минут назад, Blurp сказал:

Для особо одаренных надо выделить, наверное:

Что ты все пытаешься доказать?

@Jesse решил задачу. Пока с помощью железного коня. )

 

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 765   Posted (edited)

http://elibrary.bsu.az/kitablar/1019.pdf  кстати проверял по этому справочнику лет десять назад. Девяности с лишним процентов решала , а теперь наверное и все сто :)

Да просто то что пустяковые задачки и Двайта можно не листать в наше время :)

Edited by Fedor

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 766   Posted (edited)

29 минут назад, ДОБРЯК сказал:

руками на бумаге

я методику знаю, но решение муторное:biggrin:
ну, честно сказать, я освежил методику в гугле))
при интегрировании неправильных дробей (неправильность/правильность в смысле степени многочленов) надо свести неправильную дробь к правильной путём деления многочленов, а затем работать по методу неопределённых коэфф-ов
http://mathprofi.ru/integraly_ot_drobno_racionalnoj_funkcii.html
вот тут описано как действовать
дома буду мб возьму))
я пока что многочлены разделил только, руки помнят))

в программах компьютерной математики эта операция не предусмотрена видать...

Edited by Jesse

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 767   Posted (edited)

Пятая степень это не спортивно

 

In[37]:=
a = \[Integral](x^100 + 2 x^3 + 4 x + 4)/(
   x^4 + 2 x^3 + 2 x^2) \[DifferentialD]x
Simplify[a]


Out[37]= -(2/x) + 281474976710656 x - (140737488355328 x^3)/3 +
 35184372088832 x^4 - (70368744177664 x^5)/5 + (
 35184372088832 x^7)/7 - 4398046511104 x^8 + (
 17592186044416 x^9)/9 - (8796093022208 x^11)/11 + (
 2199023255552 x^12)/3 - (4398046511104 x^13)/13 + (
 2199023255552 x^15)/15 - 137438953472 x^16 + (
 1099511627776 x^17)/17 - (549755813888 x^19)/19 + (
 137438953472 x^20)/5 - (274877906944 x^21)/21 + (
 137438953472 x^23)/23 - (17179869184 x^24)/3 + (
 68719476736 x^25)/25 - (34359738368 x^27)/27 + (
 8589934592 x^28)/7 - (17179869184 x^29)/29 + (8589934592 x^31)/31 -
 268435456 x^32 + (4294967296 x^33)/33 - (2147483648 x^35)/35 + (
 536870912 x^36)/9 - (1073741824 x^37)/37 + (536870912 x^39)/39 - (
 67108864 x^40)/5 + (268435456 x^41)/41 - (134217728 x^43)/43 + (
 33554432 x^44)/11 - (67108864 x^45)/45 + (33554432 x^47)/47 - (
 2097152 x^48)/3 + (16777216 x^49)/49 - (8388608 x^51)/51 + (
 2097152 x^52)/13 - (4194304 x^53)/53 + (2097152 x^55)/55 - (
 262144 x^56)/7 + (1048576 x^57)/57 - (524288 x^59)/59 + (
 131072 x^60)/15 - (262144 x^61)/61 + (131072 x^63)/63 - 2048 x^64 + (
 65536 x^65)/65 - (32768 x^67)/67 + (8192 x^68)/17 - (
 16384 x^69)/69 + (8192 x^71)/71 - (1024 x^72)/9 + (4096 x^73)/73 - (
 2048 x^75)/75 + (512 x^76)/19 - (1024 x^77)/77 + (512 x^79)/79 - (
 32 x^80)/5 + (256 x^81)/81 - (128 x^83)/83 + (32 x^84)/21 - (
 64 x^85)/85 + (32 x^87)/87 - (4 x^88)/11 + (16 x^89)/89 - (
 8 x^91)/91 + (2 x^92)/23 - (4 x^93)/93 + (
 2 x^95)/95 - x^96/48 + x^97/97 - 4 ArcTan[1 + x] -
 281474976710655 Log[2 + 2 x + x^2]

Out[38]= -(2/x) + 281474976710656 x - (140737488355328 x^3)/3 +
 35184372088832 x^4 - (70368744177664 x^5)/5 + (
 35184372088832 x^7)/7 - 4398046511104 x^8 + (
 17592186044416 x^9)/9 - (8796093022208 x^11)/11 + (
 2199023255552 x^12)/3 - (4398046511104 x^13)/13 + (
 2199023255552 x^15)/15 - 137438953472 x^16 + (
 1099511627776 x^17)/17 - (549755813888 x^19)/19 + (
 137438953472 x^20)/5 - (274877906944 x^21)/21 + (
 137438953472 x^23)/23 - (17179869184 x^24)/3 + (
 68719476736 x^25)/25 - (34359738368 x^27)/27 + (
 8589934592 x^28)/7 - (17179869184 x^29)/29 + (8589934592 x^31)/31 -
 268435456 x^32 + (4294967296 x^33)/33 - (2147483648 x^35)/35 + (
 536870912 x^36)/9 - (1073741824 x^37)/37 + (536870912 x^39)/39 - (
 67108864 x^40)/5 + (268435456 x^41)/41 - (134217728 x^43)/43 + (
 33554432 x^44)/11 - (67108864 x^45)/45 + (33554432 x^47)/47 - (
 2097152 x^48)/3 + (16777216 x^49)/49 - (8388608 x^51)/51 + (
 2097152 x^52)/13 - (4194304 x^53)/53 + (2097152 x^55)/55 - (
 262144 x^56)/7 + (1048576 x^57)/57 - (524288 x^59)/59 + (
 131072 x^60)/15 - (262144 x^61)/61 + (131072 x^63)/63 - 2048 x^64 + (
 65536 x^65)/65 - (32768 x^67)/67 + (8192 x^68)/17 - (
 16384 x^69)/69 + (8192 x^71)/71 - (1024 x^72)/9 + (4096 x^73)/73 - (
 2048 x^75)/75 + (512 x^76)/19 - (1024 x^77)/77 + (512 x^79)/79 - (
 32 x^80)/5 + (256 x^81)/81 - (128 x^83)/83 + (32 x^84)/21 - (
 64 x^85)/85 + (32 x^87)/87 - (4 x^88)/11 + (16 x^89)/89 - (
 8 x^91)/91 + (2 x^92)/23 - (4 x^93)/93 + (
 2 x^95)/95 - x^96/48 + x^97/97 - 4 ArcTan[1 + x] -
 281474976710655 Log[2 + 2 x + x^2]    

 

можно и сотую и тысячную, да места жалко форумного  :)

Edited by Fedor

Share this post


Link to post
Share on other sites

О, Fedor открыл новое направление в ASCII-арте - графон на формулах.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Меня хлебом не корми,  дай чего-нибудь открыть. Банку с пивом или бутылку :) 

Share this post


Link to post
Share on other sites
8 hours ago, ДОБРЯК said:

Вот задача для вашего железного коня. ))

100.png

 

dZkI66P.png

1 person likes this

Share this post


Link to post
Share on other sites

@piden Моя долго въезжала в буквы задания.

Не знаю, правильно она въехала, или нет, но получилось 82.

Теперь смотрю на твою энигму и понимаю, что вроде правильно получилось. :clap_1:

Share this post


Link to post
Share on other sites
3 minutes ago, Blurp said:

Моя долго въезжала в буквы задания.

Да)) Я его тоже понял только после того, как все возможные значения k нашел)

 

4 minutes ago, Blurp said:

смотрю на твою энигму

Энигму... я так надеялся тебя на WM подсадить))

Share this post


Link to post
Share on other sites
7 минут назад, piden сказал:

Энигму... я так надеялся тебя на WM подсадить))

Одно время на WM плотно сидел, но гоооооораздо попроще, без этих твоих хитрых переподвыподвертов. :worthy:

Потом как-то незаметно откатился к мапле. Даже не вспомню почему. :smile: А теперь одинаково не шарю ни там и ни сям.

Вот кого надо бы подсадить на WM, так это буйка-добуйка. Складывается такая ИМХА, что если и шарит он в плюсах (что совершенно не точно), то понятия не имеет о современных символьных расчетных системах и на что способны другие ЯПы.

Типа 6500! не только лишь все, кроме плюсов, могут посчитать за вменяемое время. :biggrin:

Для данной конкретной задачки 82 на моей железной лошадке находится в среднем за 1,57 ms.

Не шибко шустро, но и не смертельно. :rolleyes:

:biggrin:

Share this post


Link to post
Share on other sites
5 часов назад, Blurp сказал:

Складывается такая ИМХА, что если и шарит он в плюсах (что совершенно не точно), то понятия не имеет о современных символьных расчетных системах и на что способны другие ЯПы.

Мне хватает современных плюсов. Но больше мне нравится строгий СИ. Переносимый, понятный и удобный язык. 

Если бы начинал с Шарпа, то может на нем и остановился. )

Но самый удобный язык на котором я писал КЭ комплекс это язык 2.

 

 

 

5 часов назад, Blurp сказал:

Для данной конкретной задачки 82 на моей железной лошадке находится в среднем за 1,57 ms.

Чтобы хромые клячи не простаивали без дела )

 

 

22.png

Share this post


Link to post
Share on other sites

Простая школьная задача.

Дан параллелограмм ABCD. Числа - площади закрашенных фигур.

Найти площадь розового треугольника.

Неужели и с этой задачей справится железный конь Федора?)

 

 

33.png

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 776   Posted (edited)

Легко. Вырезать ножницами, вставить в автогад измерить известного, вычислить коэффициент масштаба для площади. Измерить неизвестного, умножить на коэффициент. Смешно даже руки пачкать такой мелочью. 

Зачем столько площадей  приведено ?  Одной бы хватило :)

Edited by Fedor

Share this post


Link to post
Share on other sites
22 минуты назад, Fedor сказал:

Легко. Вырезать ножницами, вставить в автогад...

Что же ваш железный конь не может решить задачу для 6-7 класса?

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 778   Posted (edited)

Решать надо простейшим из возможных способов. И пригодным для любых фигур с подобными данными.  Мы же не шестиклассники все-таки  :)

Edited by Fedor

Share this post


Link to post
Share on other sites
19 минут назад, Fedor сказал:

Решать надо простейшим из возможных способов.

Решите простейшим способом. Пусть железный конь решит за вас.

А пока только словоблудие. )

Решение очень простое и красивое.

Share this post


Link to post
Share on other sites
3 часа назад, ДОБРЯК сказал:

Простая школьная задача.

Дан параллелограмм ABCD. Числа - площади закрашенных фигур.

Найти площадь розового треугольника.

Неужели и с этой задачей справится железный конь Федора?)

 

 

33.png

отрезки, идущие из точек D и B параллельны?

Share this post


Link to post
Share on other sites

Примерно 6.75 это и на глаз видно :)  

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 минуту назад, Jesse сказал:

отрезки, идущие из точек D и B параллельны?

Этого нет в условиях задачи.

Даю подсказку. Не усложняйте. Это задача уровня 6-7 класса.

Но если нужна тригонометрия, то не запрещено. )

1 минуту назад, Fedor сказал:

Примерно 6.75 это и на глаз видно :)  

Это какая-то лошадиная доза.)

Ошибся глаз вашего железного коня. ))

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 783   Posted (edited)

Тогда 6.5 примерно. Погрешность то на уровне 2.5%   :)

Edited by Fedor

Share this post


Link to post
Share on other sites
4 hours ago, ДОБРЯК said:

Дан параллелограмм ABCD.

16 minutes ago, Jesse said:

отрезки, идущие из точек D и B параллельны?

:rolleyes:

Share this post


Link to post
Share on other sites
6 минут назад, piden сказал:
4 часа назад, ДОБРЯК сказал:

Дан параллелограмм ABCD.

23 минуты назад, Jesse сказал:

отрезки, идущие из точек D и B параллельны?

:rolleyes:

Объясняю еще раз дан параллелограмм ABCD.

Отрезки, идущие из точек D и B (DF и BG) пусть будут параллельны. 

Это поможет? )

 

44.png

29 минут назад, Fedor сказал:

Тогда 6.5 примерно. Погрешность то на уровне 2.5%   :)

С такой погрешностью если перебрать все варианты, то вы быстро найдете правильный ответ. )

Share this post


Link to post
Share on other sites
Скрытый текст

 

Точнее и не надо :)

Share this post


Link to post
Share on other sites
Только что, Fedor сказал:
  Показать содержимое

 

Точнее и не надо :)

Надо Федя, надо. ))

Share this post


Link to post
Share on other sites

Кому надо тот пускай и париться :)

Share this post


Link to post
Share on other sites
6 часов назад, ДОБРЯК сказал:

22.png

@Fedor зарядите своего коня. Решите неравенство. )

Share this post


Link to post
Share on other sites
19 минут назад, ДОБРЯК сказал:

зарядите своего коня. Решите неравенство.

Имеющийся у меня, младший брат железного коня, дал вот такой ответ

Screenshot_20190416-103513.thumb.png.aaf59f8836d6859e7652045961f6db5f.png

Share this post


Link to post
Share on other sites

In[70]:=
x = {0.000001, 5};
Simplify[Log[Sqrt[(x - 1)^2], Sqrt[6 - x] + 4] -
   2  Log[(x - 1)^2, 10 - 2 x] >= 0 ]

Out[71]= {438584., \[Infinity]} >= 0

In[82]:=
x = {0.00000000000001, 3. , 5 - 0.00000000000001};
Simplify[Log[Sqrt[(x - 1)^2], Sqrt[6 - x] + 4] -
   2  Log[(x - 1)^2, 10 - 2 x] >= 0 ]

Out[83]= {4.38935*10^13, 0.519051, 23.9312} >= 0

In[84]:=
x = {0, 3. , 5 + 0.00000000000001};
Simplify[Log[Sqrt[(x - 1)^2], Sqrt[6 - x] + 4] -
   2  Log[(x - 1)^2, 10 - 2 x] >= 0 ]

During evaluation of In[84]:= Power::infy: Infinite expression 1/0 encountered.

During evaluation of In[84]:= Power::infy: Infinite expression 1/0 encountered.

During evaluation of In[84]:= Infinity::indet: Indeterminate expression ComplexInfinity+ComplexInfinity encountered.

Out[85]= {Indeterminate, 0.519051, 23.9312 - 2.26618 I} >= 0

 

 

Справедливо примерно в диапазоне x = {0.00000000000001, 3. , 5 - 0.00000000000001};    Если больше 5 то комплексное для них больше меньше не определено как известно.  Ну  и ноль дает бесконечность :)

Ответ может быть приближенным, но обязан быть чисто конкретным по инженерным понятиям  :)

In[121]:= epsil = 0.000000000000001;
x = {epsil, 5 - epsil};
Simplify[Log[Abs[x - 1], Sqrt[6 - x] + 4] -
   2  Log[(x - 1)^2, 10 - 2 x] >= 0 ]

Out[123]= {4.38935*10^14, 25.661} >= 0 

 

В таком диапазоне x неравенство справедливо :)

Share this post


Link to post
Share on other sites
11 минуту назад, Fedor сказал:

Справедливо примерно в диапазоне x = {0.00000000000001, 3. , 5 - 0.00000000000001};

Вы напишите ответ внятно. В каком интервале. )

14 минуты назад, vasillevich68 сказал:

Имеющийся у меня, младший брат железного коня, дал вот такой ответ

 

Икс чему равен? )

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 793   Posted (edited)

(0,1 )  и (1,5)  Если быть точным интервала два. Приложил бы и график, да не умею  :)

Edited by Fedor

Share this post


Link to post
Share on other sites

@piden Прикольно, когда этворк не то, что WM, а кроме VBA нету ни фига. :smile:

Попытался повторить твой подвиг. :worthy:

Скрытый текст

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32,
33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62,
63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94,
95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 119, 120, 121, 123, 124, 125, 126, 128,
 129, 130, 132, 133, 135, 136, 138, 140, 143, 144, 145, 147, 148, 150, 152, 153, 154, 155, 156, 160, 161, 162, 165, 168,
 169, 170, 171, 174, 175, 176, 180, 182, 184, 186, 187, 189, 190, 192, 195, 196, 198, 200, 203, 204, 207, 208, 209, 210,
 216, 220, 221, 224, 225, 228, 230, 231, 234, 238, 240, 242, 243, 245, 247, 250, 252, 253, 255, 256, 260, 264, 266, 270,
 272, 273, 275, 276, 280, 285, 286, 288, 294, 297, 300, 304, 306, 308, 312, 315, 320, 323, 324, 325, 330, 336, 340, 342,
 343, 350, 351, 352, 357, 360, 364, 374, 375, 378, 384, 385, 390, 392, 396, 400, 405, 416, 420, 429, 432, 440, 441, 448,
 450, 455, 462, 468, 480, 486, 490, 495, 500, 504, 512, 520, 525, 528, 539, 540, 550, 560, 567, 576, 594, 600, 616, 630,
 640, 648, 672, 675, 700, 720, 756, 768, 800, 810, 840, 864, 896, 945, 960, 1008, 1080

 

1 person likes this

Share this post


Link to post
Share on other sites
55 минут назад, Fedor сказал:

(0,1 )  и (1,5)  Если быть точным интервала два. Приложил бы и график, да не умею  :)

А если x = 2 ))

Share this post


Link to post
Share on other sites
3 часа назад, Jesse сказал:

отрезки, идущие из точек D и B параллельны?

@Jesse кто первый решит эту задачу получит бутылку хорошего коньяка. Самовывоз из Москвы. )

44 минуты назад, Blurp сказал:

Прикольно, когда этворк не то, что WM, а кроме VBA нету ни фига.

На плюсах, что не умеешь программы писать? ))

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 797   Posted (edited)

Plot[Log[Abs[x - 1], Sqrt[6 - x] + 4] -
  2  Log[(x - 1)^2, 10 - 2 x], {x, 1.99999, 2.000001}]     осцилляции любопытные  начинаются :)

 

eps = 2.0001;
Plot[Log[Abs[x - 1], Sqrt[6 - x] + 4] -
  2  Log[(x - 1)^2, 10 - 2 x], {x, 2 - eps, 2 + eps}]    меняя eps можно посмотреть болтанку при малых eps, но при больших все сглаживается :)

Edited by Fedor

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 минуту назад, Fedor сказал:

Plot[Log[Abs[x - 1], Sqrt[6 - x] + 4] -
  2  Log[(x - 1)^2, 10 - 2 x], {x, 1.99999, 2.000001}]     осцилляции любопытные  начинаются :)

Я языка вашего железного коня не понимаю (в данном случае). Вы прямо скажите... )

Share this post


Link to post
Share on other sites

eps = 0.0010000;   начиная с этого значения видна болтанка, а при eps = 0.010000; ее не видно и все гладко. то есть с точки теории меры можно говорить о почти гладкости. То есть возмущение на мере ноль по Лебегу https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_Лебега      :)  

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 час назад, ДОБРЯК сказал:

кто первый решит эту задачу получит бутылку хорошего коньяка. Самовывоз из Москвы. )

мотивация крутая конечно, но отвлекают постоянно) подумать не дают..

Share this post


Link to post
Share on other sites
7 минут назад, Jesse сказал:

мотивация крутая конечно, но отвлекают постоянно) подумать не дают..

Так я же не тороплю. Главное быть первым. )

Каждый съел примерно поровну харчей,- 
И судья не зафиксирует ничьей. 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!


Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.


Sign In Now

  • Recently Browsing   4 members

    • Борман
    • ДОБРЯК
    • Fedor
    • Jesse