Аналитически определить маскимальное нормальное напряжение в точке заделки зная геометрию стержня и прогиб на конце

[12val12 11]

Подскажите как аналитически  определить маскимальное нормальное напряжение в точке заделки зная геометрию стержня и прогиб на конце.

[Fedor 1 630]

 Иногда без функции Хевисайда в решении  не обойтись. Например здесь случай когда сила приложена на L/3  от заделки . 

[Orchestra2603 243]

 

8 hours ago, Fedor said:

Общее решение.

Из краевых условий надо найти 4 константы , а из нагрузок  4 интеграла вычислить.  :) 

 

6 hours ago, Fedor said:

Взяв 2 производную ( для получения кривизны ) можем вычислить момент, ну и по моменту напряжения :) 

В общем, пора бы переписать сопромат на адекватный нынешнему тысячелетию вид :) 

 

6 hours ago, Fedor said:

Легко получаем формулы и для статически неопределимых задач. Например для балки заделанной с двух концов :) 

 

1 hour ago, Fedor said:

 Иногда без функции Хевисайда в решении  не обойтись. Например здесь случай когда сила приложена на L/3  от заделки . 

 

Федор, вам всяческий респект за то, что потратили свое время. Наверное, образовательная ценность в этом есть. Но, если честно, все это тривиально для инженера. 

7 hours ago, Fedor said:

Логично принимать нулевыми некоторые высшие производные для определения неизвестных интегрирования.

Вот эту мысль не понял. Почему на правом конце третья производная равна нулю? У нас же там сила сосредоточенная? Или вы уже перешли на случай произвольной нагрузки? и почему w(L) = 0 местами проскакивает? не могу понять по ГУ, какую конкретно задачу вы решаете.

[Fedor 1 630]

"Вот эту мысль не понял. "  - " это тривиально для инженера" :) 

Тут как в формуле Тейлора естественно жертвовать тем что связано с высшими производными. 

Вторая производная - кривизна, третья - кривизна кривизны, четвертая кривизна кривизны кривизны. Естественно доопределить условия там где они меньше всего изгибаются коль без дополнительных условий не обойтись. Пожертвовать наименее интересными областями... Так мы разбиваем на грубые большие элементы в областях где не ожидаем резких изменений в МКЭ .

Благодарить надо не меня, а автора топика. Мне давно хотелось поупражняться с обобщенными функциями для решения уравнений :) 

 

Изменено 18 января 2023 пользователем Fedor

[Fedor 1 630]

Цитата

 почему w(L) = 0

Тут две разные по граничным условиям. Даже три. Одна - это консоль . условия на одном конце нулевой прогиб и первая производная.  Вторая - шарниры по концам w(0) = w(L) = 0  . Третья - заделки по концам  w(0) = w(L) = 0  и    w'(0) = w'(L) = 0  .

Ну и в конце сосредоточенная сила у консоли. На конце и в произвольном месте балки. 

Изменено 18 января 2023 пользователем Fedor

[Fedor 1 630]

Вот еще пример как с помощью кинематических условий управлять. Это балка на концах которой шарниры и шарниры на 1/3 и 2/3 . Было бы интересно если бы кто-нибудь численно проверил подобный вид эпюр в мкэ... 

Прогиб похож, а вот моменты в концевых шарнирах вызывают недоумение... 

Изменено 19 января 2023 пользователем Fedor

[Jesse 979]

@Fedor не камильфо же глобальным переменным присваивать значения..) Я через With всегда стараюсь делать, то есть With[{F=-1, L=100}, Plot[w@z,{z,0,L}]

[Fedor 1 630]

На существе дела эта мелочь не сказывается :) 

[Fedor 1 630]

Цитата

не могу понять по ГУ

Понял пока в метро ехал. Если заделка  то перемещение и первая производная равны нулю, если шарнир то перемещение и вторая производная равны нулю чтобы получался нулевой момент в шарнире . Завтра проверю :) 

Ну и действуя индуктивно для свободного конца надо требовать равенства нулю второй и третьей производных 

Изменено 19 января 2023 пользователем Fedor

[Orchestra2603 243]

52 minutes ago, Fedor said:

Понял пока в метро ехал. Если заделка  то перемещение и первая производная равны нулю, если шарнир то перемещение и вторая производная равны нулю чтобы получался нулевой момент в шарнире . Завтра проверю :) 

Ну и действуя индуктивно для свободного конца надо требовать равенства нулю второй и третьей производных 

Все правильно говорите, только у вас уравнение 4-го порядка. Для трехпролетной балки нужно 4 нулевых перемещения и 4 нулевых момента = 8 ГУ.

 

На самом деле для такой задачи с многопролетной балкой решение представлет собой кусочно-кубическая функция без разрывов функции (в точка "склейки" просто нули), еще ее первой производной в точках опор (типа сплайнов 3 порядка). Вам нужно решать три дифура на разных интервалах, а не один, и обеспечить равенство функции и производной слева и справа в опорах.  Можете тут глянуть https://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_трёх_моментов

Изменено 19 января 2023 пользователем Orchestra2603

[Fedor 1 630]

Понятно. Пока с однопролетной все прояснилось.    

"еще ее первой производной в точках опор (типа сплайнов 3 порядка)" - это уже мкэ   (http://www.pinega3.narod.ru/ermit.htm) .

Но любопытно и на дифурах попробовать соединить . Может чего и удастся :) 

С моментами не интересно. Интересно все в рамках линейного дифференциального оператора. L w= F  то есть метода перемещений... Хотя можно и попробовать моменты заменить вторыми производными...  :)

Изменено 20 января 2023 пользователем Fedor

[Fedor 1 630]

Скрытый текст

 Вот, все получается логично для однопролетных балок. Просто решаем дифур с теми или иными условиями в рамках метода перемещений и все дела  :) 

Понятно что для многопролетных балок надо решать систему ДУ и вводить условия склейки. Как и для шарниров в середине балки. Этим займемся позднее :) 

[Orchestra2603 243]

25 minutes ago, Fedor said:

Вот, все получается логично для однопролетных балок.

Т.е. у вас изначально были сомнения какие-то, вопросы открытые? :)

[ДОБРЯК 615]

2 часа назад, Fedor сказал:

"еще ее первой производной в точках опор (типа сплайнов 3 порядка)" - это уже мкэ   (http://www.pinega3.narod.ru/ermit.htm) .

Вы даете ссылки на свои статьи. Вы проверяли этот элемент в своей программе?

Цитата

Линейные элементы с первыми производными

 Сначала рассмотрим построение базисных функций для квадрата с узлами в углах и функциями и первыми производными в качестве параметров линейной формы или правила вычисления. В качестве исходного базиса сначала используем обычный полиномиальный:

Пробовали задавать силы в узлах и получать точное решение?

 

 

[Fedor 1 630]

Цитата

Т.е. у вас изначально были сомнения какие-то, вопросы открытые? :)

Как и у Вас :) 

Надежнее когда опираешься не на метод авторитетов ( справочники), а метод логики. Тут разница как между коллективным и индивидуальным в философии у постмодернистов. Как между социализмом и капитализмом, планом и рынком :) 

Цитата

Вы проверяли этот элемент в своей программе?

Нет. Интересовала возможность построить базисные функции для  элементов с производными и обычными требованиями для балок и оболочек... 

Изменено 20 января 2023 пользователем Fedor

[Orchestra2603 243]

1 hour ago, Fedor said:

Понятно что для многопролетных балок надо решать систему ДУ и вводить условия склейки. Как и для шарниров в середине балки

 

3 hours ago, Fedor said:

С моментами не интересно. Интересно все в рамках линейного дифференциального оператора

 

Пусть у вас балка поделена на n интервалов. На каждом интервале определено свое ДУ 4го порядка. Таким образом требуется определить 4n неизвестных коэффециентов (постоянных интегрирования). Для каждой опоры (их всего n+1) у нас известно 2 условия (одно кинематическое* из двух, одно силовое* из двух). Т.е. всего 2*(n+1) условия. Далее для каждой внутренней опоры, т.е исключая крайние (таких всего n-1), для двух оставшихся параметров (один кинематический, и один силовой) задаем условия склейки.  Всего 2*(n-1) условия.

 

2*(n+1) + 2*(n-1) = 4n +2 -2 = 4n. Вроде получается без дополнительных моментов. Хотя в методе 3-х моментов происходит то же самое, только слегка "изподвыподверта".

 

*кинематическое - прогиб w или поврот w', силовое - момент EIw'' или сила (EIw'')' соответственно.

Изменено 20 января 2023 пользователем Orchestra2603

[Fedor 1 630]

Интересно проделать практически. Это не совсем праздное любопытство. Вот пример. Сейчас торговля сжимается, освобождаются площади, трудно найти арендатора. Нагрузка обычно 400 кГ/кв.м при проектировании. Находится арендатор, который требует 2000 кГ/кв.м. Перекрытие из пустотных  плит шарнирно лежащих на балках, которые крепятся к колоннам.  То есть нормативная нагрузка возрастает в 5 раз. И надо найти решение усиления чтобы удовлетворить требованиям арендатора ... Видим что если свяжем стыкующиеся плиты из шарнирного состояния в единое целое как в заделках то примерно в 5 раз и уменьшим прогибы и моменты в середине плит. Для убедительности тут лучше несколькими способами решить чисто конкретно, чтобы не случилось беды... 

Изменено 20 января 2023 пользователем Fedor

[Fedor 1 630]

Цитата

Вы проверяли этот элемент в своей программе?

Под конечными элементами придерживался точки зрения Сьярле https://lib-bkm.ru/10593 , а не вашей :) 

[ДОБРЯК 615]

1 час назад, Fedor сказал:

Интересовала возможность построить базисные функции для  элементов с производными и обычными требованиями для балок и оболочек... 

Вы как обычно не поняли вопроса. :=)

Балки и оболочки с такими функциями формы никто не строит. Я спросил про мембранный элемент. Плоское напряженное состояние. Когда напряжения не нужно осреднять.

Можно ли задать силу в узле в этом случае?

22 минуты назад, Fedor сказал:

Под конечными элементами придерживался точки зрения Сьярле https://lib-bkm.ru/10593 , а не вашей

И опять вы не поняли вопроса. ;=)

Проверять нужно точность КЭ построенных на базе этих функций формы. 

Вы в своей любимой программе Математика точность и сходимость КЭ не проверите. 

Изменено 20 января 2023 пользователем ДОБРЯК

[Orchestra2603 243]

1 hour ago, Fedor said:

Интересно проделать практически. Это не совсем праздное любопытство. Вот пример...

Это уже другая песня. Идея, считаю, в целом правильная. Это уже построенное здание или только на стадии проектирования? Надо еще подумать насколько жесткая и прочная будет такая "склейка" на практике при всех проектных нагрузках, и как это реализовать в тех условиях, что есть.

[Fedor 1 630]

При проектировании  все проще, больше степеней свободы. И не обязательно готовые элементы использовать. Проще спроектировать монолитную плиту и все дела. Я делал и для пожарных машин на стилабатах, там 3600 кГ/кв.м насколько помню. Когда еще только строили в Москве, захотел съездить посмотреть как ведет себя подребренное перекрытие над залом примерно 30*30 метров. Архитектор сказала что не стоит, а то увижу как там ездят по этой плите бетоновозы и плохо с сердцем станет :) 

"Балки и оболочки с такими функциями формы никто не строит" это не моя проблема и не доказательство что базисные функции не правильные. Я воздушными шарами не занимался, чтобы мембранами интересоваться. По моему там все просто и 3 степени свободы , а не 6 как в пластинах и оболочках. :)