Аналитически определить маскимальное нормальное напряжение в точке заделки зная геометрию стержня и прогиб на конце

[12val12 11]

Подскажите как аналитически  определить маскимальное нормальное напряжение в точке заделки зная геометрию стержня и прогиб на конце.

[ДОБРЯК 602]

6 минут назад, 12val12 сказал:

мне нужна независимая проверка  

Сделайте эту работу сами. Если у вас будет другая формула, будем все вместе ошибку искать. Страниц 20 еще напишем. Пока найдем.

[karachun 2 038]

1 час назад, 12val12 сказал:

не сооружал  ..жду  готовую ..

Ну ждите, ждите.

 

1 час назад, 12val12 сказал:

но есть поправка ..формула точна для точечной силы на свободном конце .. для иных конфигураций сил может будет ошибка  тем большая чем ближе  силы к заделке .

то  есть формула справедлива для момента линейно увеличивающегося  от свободного конца к  заделке.

Конечно. Но при желании можно все учесть, и силу и момент и распределенную нагрузку.

 

1 час назад, ДОБРЯК сказал:

 @karachun все правильно написал.

Вот это день, мы с Добряком в одной теме друг другу сказали что правы.

Изменено 16 июня 2022 пользователем karachun

[Orchestra2603 224]

Вижу, что уже больше полугода прошло, но уж очень хочется что-то мне поумничать сегодня ))) Если мы только в деформациях работаем, то нужно знать еще на конце угол поворота. Или нужно знать сосредоточенную силу/момент (или четко сказать, что она равна нулю ) там же. Иначе у нас не хватит граничных условий.  Имеется 3 условия (перемещение и угол поворота = 0 в x=0  и перемещение = w0 в x=L), а нужно знать 4. 

 

Далее порядок такой:

-Восстановить упругую линию балки w(x) как полином третьей степени (например, через функции Эрмита);

-w''(x=0) дает приблизительную кривизну в x=0;

-epsilon_max(x=0) = h/2 * w''(x=0) - максимальные деофрмации в заделке, как следует из гипотезы плоских сечений.

[Fedor 1 597]

Цитата

Подскажите как аналитически  определить маскимальное нормальное напряжение в точке заделки зная геометрию стержня и прогиб на конце.

Если только это то такая задача может быть решена простым заданием величины перемещения в точке, что эквивалентно приложением в этой точке реакции возникающей из - за такого деформирования. То есть подобрать силу при которой будет такое перемещение , потом от этой силы найти момент в заделке , ну и напряжение через формулу Навье. Формула для перемещения консольной балочки есть в любом справочнике  v=(P* L**3 )/(3*E*I ) :)

[Orchestra2603 224]

3 minutes ago, Fedor said:

Если только это то такая задача может быть решена простым заданием величины перемещения в точке, что эквивалентно приложением в этой точке реакции возникающей из - за такого деформирования. То есть подобрать силу при которой будет такое перемещение , потом от этой силы найти момент в заделке , ну и напряжение через формулу Навье. Формула для перемещения консольной балочки есть в любом справочнике  v=(P* L**3 )/(3*E*I ) :)

Вот вам контрпример...

 

 

Нам известен только прогиб на конце w0 и геометрия балки. То, что зеленым цветом нам "неведомо", но оно на самом деле было и привело к w0. Пусть так вот вышло, что w0 в обоих случаях одинаковое. Но видно же, что при этом момент в заделке, а значит напряжения и деформации продольные там будут различаться для случая 1 и случая 2. Т.е. получается, что такого набора входных данных недостаточно, чтобы получить единственное решение. 

[ДОБРЯК 602]

Силы и моменты могут быть приложены в любом месте по длине балки. 

Зная только угол поворота и перемещение в конце балки нельзя восстановить граничные условия.

[Fedor 1 597]

"Нам известен только прогиб на конце w0 и геометрия балки."  так можно же считать нагружение в виде перемещения. Коль ничего другого не сказано, то естественно считать это единственным условием.  Ну и логично заменять реакцией ...  :) 

 

Цитата

Зная только угол поворота и перемещение в конце балки нельзя восстановить граничные условия

Вы то знаете что это уже условия и их можно прямо подставить модифицировав матрицу жесткости :)  

В данном случае просто F= CU  где U заданное перемещение :) 

Изменено 17 января 2023 пользователем Fedor

[Orchestra2603 224]

Just now, Fedor said:

"Нам известен только прогиб на конце w0 и геометрия балки."  так можно же считать нагружение в виде перемещения. Коль ничего другого не сказано, то естественно считать это единственным условием.  Ну и логично заменять реакцией ...  :) 

Так существует несколько разных вариантов "нагружения" перемещением. Т.е. решение не является единственным в таком случае.

 

1 hour ago, ДОБРЯК said:

Силы и моменты могут быть приложены в любом месте по длине балки. 

Справедливое замечание. Если дорустить, что где-то может действовать распределенная нагрузка, то тоже не получится установить однозначную связь между прогибом и поворотом на конце и напряжениями/деформациями в заделке.

Но если заданы все кинематические ГУ (перемещение и поворот) на обоих концах, то можно восставновить приблизительно статически эквивалентные моменты и силы в заделке и на свободном конце, как это делается с внеузловыми нагрузками в МКЭ. 

[jtok 814]

Я думаю, поможет метод начальных параметров и уравнение дифференциальной оси балки.

В моей программе Beam этот метод и реализован.

Общее уравнение для любой балки постоянного сечения:

Скрытый текст

Ваш случай (все остальные слагаемые равны 0):

Скрытый текст

В уравнении остается сила на правом конце, модуль упругости, момент инерции и прогиб.

Отсюда получаем силу на правом конце, из нее момент в заделке, из момента - напряжение.

Более подробно - в разделе "Теория" в справке к программе Beam

Скрытый текст

 

[Fedor 1 597]

Цитата

Так существует несколько разных вариантов "нагружения" перемещением. Т.е. решение не является единственным в таком случае.

Решение линейных задач всегда единственно. На то теорема есть :)

Можно считать что у стержня 4 степени свободы, для простоты и в плоскости. На одном конце задано перемещение и угол. Нулевые это заделка на одном конце. И перемещение на другом. Ну угол никакого условия нет вроде. Так что нечего и выдумывать :) 

"уравнение дифференциальной оси балки" в общем случае это линейный дифур 4 порядка... 

[Orchestra2603 224]

1 hour ago, Fedor said:

"уравнение дифференциальной оси балки" в общем случае это линейный дифур 4 порядка... 

Разумеется! И скольже нужно задать граничных условий, чтобы найти это решение? И сколько же у нас известно? Так что я все-таки "повыдумаваю" пока.

 

1 hour ago, Fedor said:

Ну угол никакого условия нет вроде

 

Да, именно так, а оно нужно. Либо нужно одно дополнительное силовое условие. Например то, что у нас нет момента на свободном конце. Вы на самом деле это предполагаете по умолчанию. Но мы же изначально говорили о том, что нагрузка может быть любой, ибо, как сказал автор...

Quote

... это неважно.

хотя  для промежуточных выкладок возьмите любую

Т.е. интересно именно представить себе ситуацию, когда с балкой может происходить что угодно, а у вас только замеры перемещений на свободном конце.

Если мы ограничиваемся задачкой с консольной балкой и силой на конце, то это тогда задачка из курса сопромата 2го курса, тут тогда и обсуждать нечего.

 

1 hour ago, jtok said:

Spoiler

В уравнении остается сила на правом конце, модуль упругости, момент инерции и прогиб.

M0 должен быть равен моменту в заделке c точностью до знака. То же самое для Q0 и поперечной силы.  Почему вы их зачеркнули?

На самом деле не надо это зачеркивать. Надо подставить условие w(x=L) = w0 и w``(x=L) = 0 (если для консольной балки), и отсюда их определеить.

 

Кроме этого, силы F_k действуют только для координаты x>x_k (x_k - точка приложения) и равны нулю для всех x=<0. Так что для нашего для всех сечений x=<L,  слагаемое с F_k будет приниматься равным нулю. 

 

 

[Fedor 1 597]

Цитата

все-таки "повыдумаваю" пока

Выдумывайте. У нас свободная страна.   "В сумасшедшем доме каждый мог говорить все, что взбредет ему в голову, словно в парламенте" .   Можете нарисовать множество кривых у которых на обоих концах нулевые перемещения и на одном конце еще нулевая производная там где заделка. И в силу линейности можете суперпозицией с простейшим случаем о котором писал, получить множество подходящих условий мощности континуума :) 

Изменено 17 января 2023 пользователем Fedor

[Fedor 1 597]

Хотите развлечься попробуйте решать уравнение 4 степени. Сосредоточенные силы это дельта функции и их можно заменить какими то их приближениями. Сосредоточенные моменты это производные от дельта функций , то есть их тоже можно заменить производными от приближений. То есть в правой части будут гладкие функции в любых ситуациях. Это позволит без проблем интегрировать  эти уравнения и потом применить предельный переход по параметру с помощью которого распределяли обобщенные функции до гладких аналогов .   В программе типа Mathematica  это вроде легко можно проделать. И это будет уже не второй курс   :)

Изменено 17 января 2023 пользователем Fedor

[Fedor 1 597]

 

Общее решение.

Из краевых условий надо найти 4 константы , а из нагрузок  4 интеграла вычислить.  :) 

[Fedor 1 597]

Логично принимать нулевыми некоторые высшие производные для определения неизвестных интегрирования. Это можно объяснить бритвой Оккамы - наименьшей возможной кривизной при которой еще есть осмысленное решение :) 

Условия стоит брать там где опирания или заделки, так как все равно решения для балок не точны в пределах толщины балки . Принцип Сен-Венана и все такое... 

Изменено 18 января 2023 пользователем Fedor

[Fedor 1 597]

А вот и графики прогибов. Взяв 2 производную ( для получения кривизны ) можем вычислить момент, ну и по моменту напряжения :) 

В общем, пора бы переписать сопромат на адекватный нынешнему тысячелетию вид :) 

 

Изменено 18 января 2023 пользователем Fedor

[Fedor 1 597]

   

Легко получаем формулы и для статически неопределимых задач. Например для балки заделанной с двух концов :) 

[Fedor 1 597]

[Fedor 1 597]

 

А это консольная балочка с силой на конце. Через функцию Дирака.

 

А это эпюра моментов для нее построеннная через прогибы ... 

 

 

[Fedor 1 597]

 

удобно доопределить значение  функции Хевисайда в 0 и тогда все без нее получается. :)

А то у нас определяют как 1, а у американцев как 0 ... https://en.wikipedia.org/wiki/Heaviside_step_function        

Ну и возвращаясь к исходной задаче - если известно уравнение изогнутой балочки,  то можно найти радиус кривизны и используя закон Гука прямо определить напряжения минуя интегральные характеристики вроде моментов  :)