Трещина

[Fedor 1 597]

Итерполяции то какое к этому отношение имеют ? 

[ДОБРЯК 603]

20 минут назад, Fedor сказал:

Итерполяции то какое к этому отношение имеют ? 

В одном случае полином Лагранжа, в другом полином Эрмита... )

[Fedor 1 597]

Цитата

деление на ноль

При интерполяции полиномами   нет деления.  Это же не рациональная интерполяция  https://ru.wikipedia.org/wiki/Рациональная_интерполяция 

Хотя любопытно попытаться построить на ее основе базисные функции. Или хотя бы частично... :)

Только с теоремой о единственности интерполяции могут возникнуть проблемы...

Цитата

постоянная σ характеризует новое свойство материала и называется отношением Пуассона. Это число положительное до знаку, по величине меньше ¹/₂.

<= http://www.all-fizika.com/article/index.php?id_article=1552   Вот мнение нобелевского лауреата :)

[ДОБРЯК 603]

28 минут назад, Fedor сказал:

При интерполяции полиномами   нет деления.

Естественно нет. 

Но цель получить правильный результат для 0.49 ... При плоском деформированном состоянии.. 

Или для солидов введя много производных в каждом узле КЭ...)

[Fedor 1 597]

Цель у кого какая. У меня например дождаться конца рабочего дня, выпить пива и сыграть в преферанс c телефоном пока еду в метро домой :)

Изменено 15 января 2020 пользователем Fedor

[Orchestra2603 224]

В 15/01/2020 в 08:23, Jesse сказал:

можно бы......

Было очень лень писать, да и страсти, вроде как, затихли... но раз обещал, то вот....

 

Примем как и везде векторную запись закона Гука,       где D - матрица упругих постоянных.

Теперь задумаемся, как же модифицировать матрицу D, которая конструировалась для трехмерной среды общего типа, так чтобы она отражала гипотезы теории пластин. А потом попробуем получить объемный модуль упругости как коэффициент пропорционаьности между объемной деформацией (тетта) и гидростатическим давлением (p).

 

Итак, пусть xy будет параллельна срединной плоскости, а z направлено по нормали. Лучше ничего в голову не пришло, как модифицировать те элементы, которые в своем индексе содержат z. Т.е. D[1,3], D[2,3], D[3,3]...ну, и чтобы соблюдалась симметрия тогда еше и D[3,1], D[3,2]. Модули сдвига трогать не будем. Для удобства я сделал так:   . Можно представить себе, что теперь такая матрица упругих коэффициентов описывает трансверсально-изотропный материал с плоскостью симметрий упругих свойств XY и другими коэффицентами по направлению z: 

, причем тогда 

Теперь, сложим первые три строки маричного закон Гука, учитывая модфицированные элементы матрицы упругих постоянных. После перегруппировки получим

 или 

И теперь вспоним, что

В общем анизотропном случае, в изменение объема кладывается не только гидростатическое давление, но есть еще и отдельный вклад от SigmaZ.

Уже сейчас можно заметить, что если положить m=1 и n=1, т.е. вернуться к изотропному варианту, то второе слагаемое уходит, и мы получаем наш стандартный модуль объемной упругости

 

Теперь снова посмотрим на матрицу D. И посмотрим, какими предполагаются соотношения между напряжениями и деформациями для пластин (даже Мидлина-Рейсснера) https://en.wikipedia.org/wiki/Mindlin–Reissner_plate_theory

Чтобы получить идентичные соотношения, примем SigmaZ=0 и m=0,  что дает нам ПНС в плоскости + только поперечный сдвиг не в  плоскости

Тогда получаем, что  Как видите, особенность в таком случае характерна для v=1!! для 0.5 нет никакой особенности!

Я решил на этои не останавливаться. Ок. А что если мы, например, проверим для случая, что epsilonZ =0?

Для этого запишем закон Гука по-другому 

Обратим матрицу D: 

Аналогично тому, что сделано выше, сложим 3 уравнения закона Гука и получим после перегруппировки

 или 

Интересно, что при m, не равном нулю, в общем случае корни знаменателя, т.е. особенности в модуле объемной упругости  Для m=1 и n=1 (трехмерное изотропное тело) получаем те же самые -1 и 0.5

 

Если положить EpsilonZ=0 и m=0, то независимо от n получаем, что , т.е. то же самое

 

Мораль. Пластина (т.е. упругая среда, для которой инкорпорированы гипотезы теории пластин) с пуассоном 0.5 не является примером несжимаемой среды и имеет конечный модуль объемной упругости. Такая пластина будет примером несжимаемой среды при пуассоне или 1.

 

Что касается скорости звука. Можно конечно подставить в формулу для волн объемного расширения, где встречается этот модуль, но это будет просто некорректно, т.к. она выполняется для трехмерного изотропного тела. Она получается из решения задачи динамикитрехмерного изотропного континуума (см. Ляв (1935) Математическая теория упругости). По-хорошему, надо найти формулу для трансверсально-изотропного тела и подставить туда коэффициенты, как я показал здесь. Но это довольно геморрно, и, ну его нафиг, мне лень. :) но, зуб даю, скорость эта для пластин будет конечной.

 

Давайте конструктивно подискитурием, а то столько времени на это убил. Не хочется, чтобы совсем зря :))

 

 

Изменено 16 января 2020 пользователем Orchestra2603

[Jesse 960]

30 минут назад, Orchestra2603 сказал:

вот....

хах, мощно!) ну вы и заморочились!!) 

 

32 минуты назад, Orchestra2603 сказал:

Давайте конструктивно подискитурием, а то столько времени на это убил. Не хочется, чтобы совсем зря :))

мне бы ужин переварить и то что тут написано в полной мере..)) позже отвечу, скорее завтра..
такие вещи никогда зря не бывают! 

[Fedor 1 597]

Попробуйте такое через коэффициенты Ламе как обычно делается и четко обозначьте вводимую гипотезу... 

[Fedor 1 597]

Беру Ландау, Лифшица Теория упругости . стр. 22  (4.5)  и рядом " Таким образом, мы приходим к результату, что модули сжатия и сдвига всегда положительны: К>0 , мю>0  "

Я не физик и мнение нобелевских лауреатов по физике Ландау и  Фейнмана не считаю для себя возможным оспаривать вопреки и собственному здравому смыслу. Тут как с вечным двигателем :) 

[ДОБРЯК 603]

12 часа назад, Orchestra2603 сказал:

Мораль. Пластина (т.е. упругая среда, для которой инкорпорированы гипотезы теории пластин) с пуассоном 0.5 не является примером несжимаемой среды и имеет конечный модуль объемной упругости.

Мораль в другом. Для 0.49 и для 0.4999 вы получите правильный результат для ПНС...

И даже получите правильный результат для 0.6 и для для 0.7... )))

[Jesse 960]

11 минуту назад, ДОБРЯК сказал:

Мораль в другом. Для 0.49 и для 0.4999 вы получите правильный результат для ПНС...

И даже получите правильный результат для 0.6 и для для 0.7... )))

вы намекаете что расчёт пластины с v=0,5 даст неправильный результат?

 

@Orchestra2603 мы же ещё над физическим смыслом хотели подумать.. почему для пластин v=0,5 окей, а для трёхмерного случая неокей..

 

Изменено 17 января 2020 пользователем Jesse

[ДОБРЯК 603]

25 минут назад, Jesse сказал:

вы намекаете что расчёт пластины с v=0,5 даст неправильный результат?

И о чем это говорит, что в природе есть такие материалы с v=0,5 с v=0,6 и ... )

В 13.01.2020 в 15:42, ДОБРЯК сказал:

Вот циферки 

$ 0.48 - 2.25e-006
$  Энергия деформации = 1.096350e-005 (КГ*СМ)  
$ 0.49 - 2.24e-006
$ 0.5  - 2.23e-006
$ 0.51 - 2.22e-006
$  Энергия деформации = 1.076601e-005 (КГ*СМ)  

@Jesse

Если  смоделировать эту мембрану солидами. Циферки будут такие же? 

Изменено 17 января 2020 пользователем ДОБРЯК

[Fedor 1 597]

http://alexandr4784.narod.ru/l07/l7_gl01_04.pdf

[ДОБРЯК 603]

И если не будут, то какая мораль?

[Jesse 960]

@Orchestra2603 интересную штуку заметил...
пробовал выразить "объёмный модуль упругости для пластин" через объёмный модуль упругости К
Для этого умножил на сопряжённое выражение. Получается при v=0,5 опять особенность что ли вылезает?!\

29 минут назад, ДОБРЯК сказал:

В 13.01.2020 в 15:42, ДОБРЯК сказал:

Вот циферки 

$ 0.48 - 2.25e-006
$  Энергия деформации = 1.096350e-005 (КГ*СМ)  
$ 0.49 - 2.24e-006
$ 0.5  - 2.23e-006
$ 0.51 - 2.22e-006
$  Энергия деформации = 1.076601e-005 (КГ*СМ)  

@Jesse

Если  смоделировать эту мембрану солидами. Циферки будут такие же? 

ну, так и не ясно при 0,5 какая энергия деформации у вас
аналитически должно быть 0?

[ДОБРЯК 603]

49 минут назад, Jesse сказал:

ну, так и не ясно при 0,5 какая энергия деформации у вас

 Энергия деформации = 1.083321e-005 (КГ*СМ)  
 Энергия деформации не меняется. 

 

 

57 минут назад, Jesse сказал:

аналитически должно быть 0?

Для солидов получите ноль - бесконечную жесткость...

Я не проверял, но по формулам иначе быть не может. )

Не может пепелац на Землю попасть. Не может и всё.

[Orchestra2603 224]

2 часа назад, Fedor сказал:

Попробуйте такое через коэффициенты Ламе как обычно делается и четко обозначьте вводимую гипотезу... 

Гипотеза, даже скорее наблюдение, довольно очевидное, на самом деле в следующем. Вот есть закон Гука для трехмерной изотропной среды. Все прекрасно. Потом прихллдит Кирхгоф, Мидлин, Рейсснер и т.п. и говорят: "это все чудесно, но помимо всего этого у нас еще здесь несжимаемость по Z. И деформации в плоскости XY тоже в наши дела по Z не вмешиваются". Так вот тогда получается, чото соотношения закона Гука для изотропного тела просто несоместимы с такой системой гипотез. Получается, что такая система гипотез эквивалента упругой трансверсально-изотропной среде, а точнее предельному случаю, когда mu_xz=mu_yz=0. Отсюда и следует, что соотношения, которые были получены для изотропной среды (объемный модуль упругости, фазовая скорость распространения продольных волн и т.п.) просто непримеными для случая теории пластин. В частности, я вот показал (надеюсь), что выражение для объемного модуля упругости для такого предельного случая трансверсально-изотропной среды получается другое, и в таком предельном случае критическое место v=1, а не v=0.5. Т.е. даже при пуассоне 0.5 такая трансверсально-изотропная среда не будет несжимаема в смысле объемных деформауий. В этом я вижу физический смысл, @Jesse

Пожтому, строго говоря, с коэффициентами Ламе не ясно ,как быть. Они ведь всегда вводятся для изотрпной среды В нашем случае, выходит, их должно быть не 2, а больше, и какие-то из них нужно будут положить равными нулю. Наверное, в теории можно это сделать, но что это даст?

 

2 часа назад, Fedor сказал:

Беру Ландау, Лифшица Теория упругости . стр. 22  (4.5)  и рядом " Таким образом, мы приходим к результату, что модули сжатия и сдвига всегда положительны: К>0 , мю>0  "

Я не физик и мнение нобелевских лауреатов по физике Ландау и  Фейнмана не считаю для себя возможным оспаривать вопреки и собственному здравому смыслу. Тут как с вечным двигателем :) 

Не понял. А где у меня получаются модулю меньше или равными нулю? 

1 час назад, ДОБРЯК сказал:

Мораль в другом. Для 0.49 и для 0.4999 вы получите правильный результат для ПНС...

И даже получите правильный результат для 0.6 и для для 0.7... )))

Для ПНС вы и при 0.5 получите устойчивое решение. Вопрос в том, за счет чего такое поведение наблюдается в ПНС, но не наблюдается, например, в трехмерном случае. Почему и куда смещается эта особенность при v=0.5 Я на этот вопрос пытался ответить

 

Изменено 17 января 2020 пользователем Orchestra2603

[Orchestra2603 224]

1 час назад, Jesse сказал:

@Orchestra2603 интересную штуку заметил...
пробовал выразить "объёмный модуль упругости для пластин" через объёмный модуль упругости К
Для этого умножил на сопряжённое выражение. Получается при v=0,5 опять особенность что ли вылезает?!\

ну, так и не ясно при 0,5 какая энергия деформации у вас
аналитически должно быть 0?

ну, смотрите.. формула для K меняется в зависимости от свойств среды, так? пластина со всеми гипотезами, присущими ей, просто не является изотропной средой в смысле теории упругости. Для нее выражение 1/3(1-2v)  просто неприменимо. Оно как бы чуждо ей вообще. Но кроме все этого, если посмотреть к вам в бумажку, вы E/3(1-v) умножаете и делите на одно и то же выражение. Математически это законно только для случаев, когда выражение это не равно нулю, а вы как раз, подставля туда потом 0.5, и получаете ноль. Есть там везде обеспечивается непрерывность, то законность такой операции надо показать, выполнив предельный переход

1 час назад, ДОБРЯК сказал:

И о чем это говорит, что в природе есть такие материалы с v=0,5 с v=0,6 и ... )

@Jesse

Если  смоделировать эту мембрану солидами. Циферки будут такие же? 

Ради интереса, можете попровать эту же мембрану посмотреь для пуассона v=0.8, 0.9, 0.99.. Должны увидеть, как перемещение очень быстро уходят в ноль при любой нагрузке

[ДОБРЯК 603]

27 минут назад, Orchestra2603 сказал:

Для ПНС вы и при 0.5 получите устойчивое решение. Вопрос в том, за счет чего такое поведение наблюдается в ПНС, но не наблюдается, например, в трехмерном случае. Почему и куда смещается эта особенность при v=0.5 Я на этот вопрос пытался ответить

Только за счет гипотез, которые принимаются в теории ПНС. В жизни такого не будет. И для солидов устойчивого решения не будет. Поэтому дополнительно записывают условия несжимаемости, чтобы получить устойчивое решение на солидах...

Хоть маленькие напряжения но будут. А в гипотезе чистый ноль...

В теории стержней вообще нет этого коэффициента. Потому что такие гипотезы...

Изменено 17 января 2020 пользователем ДОБРЯК

[Orchestra2603 224]

1 минуту назад, ДОБРЯК сказал:

Только за счет гипотез, которые принимаются в теории ПНС. В жизни такого не будет. И для солидов устойчивого решения не будет. Поэтому дополнительно записывают условия несжимаемости, чтобы получить устойчивое решение на солидах...

Хоть маленькие напряжения но будут. А в гипотезе чистый ноль...

У теории стержней вообще нет этого коэффициента. Потому что такие гипотезы...

Слушайте.. Мы когда занимаеся механикой, мы в любом случае занимаемся моделями. Мы, если хотите, сидим в своей виртуальной реальности, где мы все отбрасываем, и учитываем только некоторые вещи. Сам концепт сплошной среды - это тоже модель. Нет такого в природе! В природе вообще ничего нет: ни дифференциального исчисления, ни тензоров, ни напряжений. Мы че-то у себя на бумажке или на компе выдумаем, посчитаем и надеемся, что оно сойдется с тем, что мы моем наблюдать в эксперименте. И очень радуемся,если наши теории позволяют объяснить результат.

При всем этом мы же не бросаем заниматься имеханикой и не заниаемся молекулярной динамикой, чтобы считать деформацию конструкции. У всего есть своя область применения. У гипотез ПНС тоже есть своя область применения. У варианта с Пуассоном 0.5 тоже есть своя область применения. Не надо злоупотреблять аргументом "в природе такого нет"