Хитрые математические и физические задачки.

[ДОБРЯК 605]

11 час назад, Fedor сказал:

И возможно ли обобщение на n  ...  Это уже поинтереснее

Возможно.

Для n = 17 коэф = 295 147 905 179 352 825 856

Плюсы рулят.))

[Fedor 1 601]

In[108]:= a =.; b =.;    c =.;  d =.; n = 4;
Simplify[a b  c  d <= (1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - d)/((n - 1)^
     n) , {a + b + c + d == 1, a >= 0, b >= 0, c >= 0 , d >= 0   }    ]

Out[109]= True    

при 5 пока не получилось :)

Конечно можно и грязные методы попробовать задавая случайные числа для множества и нормируя это множество и проверяя ...  Но это уж если не удастся чисто доказать ... :)

Изменено 10 апреля 2019 пользователем Fedor

[ДОБРЯК 605]

Для n = 77 коэф = 6647320299031715430471065571179470331739510630370711013862324463878564382727341117128087307783133373320770764273881015753548562681110007985995776
Вот для чего нужны большие числа. )

[Fedor 1 601]

In[130]:= n = 77;  (n - 1)^n

Out[130]= \
6647320299031715430471065571179470331739510630370711013862324463878564\
3827273411171280873077831333733207707642738810157535485626811100079859\
95776     похоже :)

 

 

In[131]:= n = 1000;  (n - 1)^n

Out[131]= \
3676954247709640446268061392204613439724998938053158514513036618155885\
8369117175929857376974089067004347265391233230649473926279625852180187\
4186549810173710460094500869774399801954246480044957117687300046018997\
0491050321098989257233037024535932331063635219529076884742977597569290\
6468595210465586069366459795597790167642518282902015405655838570232880\
7819757315437800287075049734753848613963373849815660354668611795203298\
5535871017376123296041878375857642759121062856573017224042481571141767\
6583410682578614952715474304755493001991442222637168072793148494205897\
9026491105045001557465626949630850576351219407226199931867073523374874\
7937683632739815642879486050278630751846993233894655552475686498419496\
1051418188031865484981446361662358336888188970615085511248776002710200\
7864168772513848853859955215420654276973633218274220683530470018881658\
3381476647866263310538132034528280228688469557694333322207848446606557\
2654007145773229624297617363629766859006005351899919707649920384081627\
9411226854445668159015063882820313058345169116254526237737952990035245\
4197347707154455794220662371820087620957181043492619816516436317345369\
0114147687916735562077689387275348547507629955442923997843666420554379\
7847930558876276068920780473162847300273183371056322972894534456618363\
1316591405908251160218866563933703293385623143109370529452801400584610\
4240047389368999252370407798258088369215939890335198532804399142122839\
5956593020814592316931877543166782343695497046390524797719667497855390\
9856020460934800701594635346301293239755032943998847048776921755420660\
6948053994417518370607033755999627233071318088427569950825203733929500\
2559389971046010688483693779922025122141901313481760568753666932632816\
9981537159601172437507686417815583221168848784889095858193269413433804\
0218120695516203989597118276238846853515611605227780894625278135536628\
7902954417838250783083529993497186833456879290822073788665193003090897\
7505541163137008497306817170536408749854801184713241417622021837293549\
1898700542088590203211750708756542662655687254758152319930022789775497\
0293850888265084304172273180438109432037210924034782813290028620901367\
5761038323328453298690576386508405025042098179336514010616122940947790\
4891146097697800486388653988566437582944665928550627330155313028407506\
7588834799387099377704150410777177474522993561532850500593203565091259\
1847577511040072913677328230401702707175879177653026443895547262398307\
3456000117461960224382272512123742160053471684155267666069805506186622\
1550048990382217590546686375492273807380977014781169931232864007980560\
0211315992591344871448261389327215165085117303412334059209561634112028\
9909234337018880299617259656175482384006736313512561967752179732431870\
5161502444223245131573691041634885279859407143207310986540561917885814\
9791218478275044156831820508825210460986581204260673703207187538748219\
5411002323282037607705112790607101736177764856410389706580941731363276\
5514043574725614216344733398248357840268445800593027639893978067727873\
389139362985035981492682873895139380741666758583499499000001   :)

[ДОБРЯК 605]

Для n = 777 коэф  =

26458024703376919699324458137647752790385885470581596348803970329914830324377550360830669697033088334011553850064890943982205690236517478833430414669917022822996803581369854889888056279202044559763262467583124361332762961274003696469519829640885894158107139383752307908150152127227357166257502893978957585777257058489705961439243629115566182457958234384867849971820353376158172092155752137867604335274071840953267493807693383642488501879535119246292502999192042503447435039314995165410848047963934371195517903047614590274519608002034482391751165794389963164961979931871526906324678113073614855674092664105180899166137807592571574557998912955581676847570175343268259564934907651211688701551236906598313622459111773972202696321416739845698764587772937383792637752187226178929210345895412453619585098878602334550015547654199199332497795474202236538430572280473618717387750314043992346080364198073404373609945853667634824778916050360219070489167453376175840146582076542733675315912828514571712118634040742418122907564606303038203844047202640576873041441447469248620566735238005524702936837354871478532037940862901460499395666698139071205584813311946739975575710194018608408574897083917379777664847091275807111503370343094658002463910633149808502980404199690969981555439148922856772230999045587799481904335173415854420145416097241374636216797044071777395001562654884051607465140686685587220752244450270994518111055601328903462644530260726918641667121475002649905831021156144719280195162243011033099301845365811611592113912426139725577857958460275678363741097188838356864097850438337872442952269837070608215066808609972435953102338611791952956712874252485812454025297406701825779027660357760742398416479481420502739700277625146567404788330602996610947173124060063093410963473355734588130173782319243420522277855705093181543309717250349106090918730624210360178532584140488059459448020037916863277219605785479699840258331998251197880029048612861750474620487707645717025080562327158538626927043310098980976592725686368167511300646309856525189023420421075956231629880831324407134733983356946856829537648822149524385313645554924147611160732842463456966160014369487241331425618209023374387068935772520856562738568824747466431546049570489019619006221360562176

 

Проверяйте. ))
 

3 минуты назад, Fedor сказал:

n[131]:= n = 1000;  (n - 1)^n

Out[131]= \

Правильно. )

[Fedor 1 601]

3.676954247709640*10^2999    примерно. Но это не приближает нас к доказательству теоремы Федора   :)

Изменено 10 апреля 2019 пользователем Fedor

[ДОБРЯК 605]

38 минут назад, Fedor сказал:

Но это не приближает нас к доказательству теоремы Федора

Не приписывайте себе теорему Студента. )

Теорема Студента уже доказана. Или докажите обратное. 

[Fedor 1 601]

теорему Студента  где она ?  :)

A = {};   n = 1000;    sx = 0.0;
For[i = 1, i <= n, i++,  x = Random[];  sx += x; 
  A = Append[A, x];  ]; 
A /= sx;
sx = 0.0;  For[i = 1, i <= Length[A], i++,  sx += A[];    px = \!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Product]\), \(j = 1\), \(Length[
     A]\)]\(A[\([j]\)]\)\);    px1 =  \!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Product]\), \(j = 1\), \(Length[A]\)]\((1 -
     A[\([j]\)])\)\) ;  ];

sx
px
 px1
sx = (Length[A] - 1)^Length[A]; 
px <= px1/sx

1.

5.87994769516688*10^-3137

0.367632

3676954247709640446268061392204613439724998938053158514513036618155885\
8369117175929857376974089067004347265391233230649473926279625852180187\
4186549810173710460094500869774399801954246480044957117687300046018997\
0491050321098989257233037024535932331063635219529076884742977597569290\
6468595210465586069366459795597790167642518282902015405655838570232880\
7819757315437800287075049734753848613963373849815660354668611795203298\
5535871017376123296041878375857642759121062856573017224042481571141767\
6583410682578614952715474304755493001991442222637168072793148494205897\
9026491105045001557465626949630850576351219407226199931867073523374874\
7937683632739815642879486050278630751846993233894655552475686498419496\
1051418188031865484981446361662358336888188970615085511248776002710200\
7864168772513848853859955215420654276973633218274220683530470018881658\
3381476647866263310538132034528280228688469557694333322207848446606557\
2654007145773229624297617363629766859006005351899919707649920384081627\
9411226854445668159015063882820313058345169116254526237737952990035245\
4197347707154455794220662371820087620957181043492619816516436317345369\
0114147687916735562077689387275348547507629955442923997843666420554379\
7847930558876276068920780473162847300273183371056322972894534456618363\
1316591405908251160218866563933703293385623143109370529452801400584610\
4240047389368999252370407798258088369215939890335198532804399142122839\
5956593020814592316931877543166782343695497046390524797719667497855390\
9856020460934800701594635346301293239755032943998847048776921755420660\
6948053994417518370607033755999627233071318088427569950825203733929500\
2559389971046010688483693779922025122141901313481760568753666932632816\
9981537159601172437507686417815583221168848784889095858193269413433804\
0218120695516203989597118276238846853515611605227780894625278135536628\
7902954417838250783083529993497186833456879290822073788665193003090897\
7505541163137008497306817170536408749854801184713241417622021837293549\
1898700542088590203211750708756542662655687254758152319930022789775497\
0293850888265084304172273180438109432037210924034782813290028620901367\
5761038323328453298690576386508405025042098179336514010616122940947790\
4891146097697800486388653988566437582944665928550627330155313028407506\
7588834799387099377704150410777177474522993561532850500593203565091259\
1847577511040072913677328230401702707175879177653026443895547262398307\
3456000117461960224382272512123742160053471684155267666069805506186622\
1550048990382217590546686375492273807380977014781169931232864007980560\
0211315992591344871448261389327215165085117303412334059209561634112028\
9909234337018880299617259656175482384006736313512561967752179732431870\
5161502444223245131573691041634885279859407143207310986540561917885814\
9791218478275044156831820508825210460986581204260673703207187538748219\
5411002323282037607705112790607101736177764856410389706580941731363276\
5514043574725614216344733398248357840268445800593027639893978067727873\
389139362985035981492682873895139380741666758583499499000001

True

 

 

Вот грязное доказательство теоремы Федора. С вероятностью   0.999  верна. Можно и на ночь поставить и с любым числом доказать :)  

[ДОБРЯК 605]

13 часа назад, Fedor сказал:

И возможно ли обобщение на n  ...  Это уже поинтереснее    :) 

Пусть sum (ai) ==1  =>  П(ai) <=  П(1-ai) /( 3**(n+1))  - примерно так.     Назовем скромненько - теорема Федора, например :) 

Есть же теорема Наполеона из соседней палаты   https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Наполеона

Вот теорема Федора. (

А теорема Студента

Пусть sum (ai) ==1  =>  П(ai) <=  П(1-ai) /( (n-1)**(n)) 

Хоть вы и пишете на птичьем языке, но мне он понятен. ))))))))))))))))))))

В чем отличия в формулах вам объяснит Наполеон.

Изменено 10 апреля 2019 пользователем ДОБРЯК

[Fedor 1 601]

" 3**(n+1))  - примерно так" это же просто небрежный набросок, смысл то очевиден в обобщении  :)

sx = (3)^(Length[A] + 1);    кстати и при этом теорема верна :)

Изменено 10 апреля 2019 пользователем Fedor

[Fedor 1 601]

Кстати и n**n  тоже годится. Есть смысл поискать максимальное число при котором теорема еще верна. Интуитивно понятно, что  при умножении на 0 неравенство нарушится. Или какое-то число близкое к нулю :)

[ДОБРЯК 605]

10 минут назад, Fedor сказал:

Кстати и n**n  тоже годится

n =  3 a=b=c=1/3.

коэф = 27. Не работает.

Что-то хромает ваш железный конь.)))

 

39 минут назад, Fedor сказал:

Есть смысл поискать максимальное число при котором теорема еще верна.

Числа по теореме Студента = максимальные для любого n. ))

[Jesse 961]

7 часов назад, ДОБРЯК сказал:

Доказать, что если a + b + c + d + e = 1 , то  abcde <= (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)(1-e) / 1024.
Доказать

ну, по логике вещей должно быть вместо 1024, а 5^5=3125, то есть берётся n^n. Потому что для двух чисел по вашей логике было бы 3^2=9, а должно быть n^n=2^2=4..
вообще, я первоначально полагал, что из неравенства Коши собственно вытекает решение вашего вопроса, но нет))
приведу кстати доказательство первоначальной задачки через неравенство Коши, а то так никто и не решил:
abc<=(1-a)(1-b)(1-c)/8; a+b+c = 1

 

Преобразуем выражения с левой и правой части:
abc=sqrt(ab)*sqrt(bc)*sqrt(ac) <= [(a+b)/2]*[(b+c)/2]*[(a+c)/2]

Каждый множитель в левой части согласно неравенству Коши меньше либо равен соотв-но множителю в правой части (среднее геометрическое меньше либо равно среднему арифметическому)

Вот и всё решение. Одна строчка

[ДОБРЯК 605]

11 минуту назад, Jesse сказал:

ну, по логике вещей должно быть вместо 1024, а 5^5=3125, то есть берётся n^n. Потому что для двух чисел по вашей логике было бы 3^2=9, а должно быть n^n=2^2=4..
вообще, я первоначально полагал, что из неравенства Коши собственно вытекает решение вашего вопроса, но нет))
приведу кстати доказательство первоначальной задачки через неравенство Коши, а то так никто и не решил:
abc<=(1-a)(1-b)(1-c)/8; a+b+c = 1

коэф = (n-1)**(n)

По моей логике коэф = 8. Он и равен 8. 

Если подставите 3^2=9, то неравенство не выполнится для  a=b=c=1/3.

Любой коэф > 8 даст ошибку. ))

коэф = (n-1)**(n) это максимальный коэффициент по доказанной теореме Студента. )))

 

Поэтому и 1024 максимальный коэффициент. Проверьте.

Легче всего это проверяется на плюсах.)

Изменено 10 апреля 2019 пользователем ДОБРЯК

[Fedor 1 601]

38 минут назад, ДОБРЯК сказал:

n =  3 a=b=c=1/3.

коэф = 27. Не работает.

Что-то хромает ваш железный конь.)))

 

Числа по теореме Студента = максимальные для любого n. ))

Начиная с 10 уже работает :)

Хочется к обобщению примазаться ?  Похвально, студент . Учитесь :)

[ДОБРЯК 605]

1 минуту назад, Fedor сказал:

Начиная с 10 уже работает :)

 

Перестаньте глупости говорить. При любом значении больше 8 - неравенство не выполняется. При восьми значения равны. Студент доказал, что 8 максимальное значение.

Работайте в плюсах, забудьте вы этот птичий язык. И железный конь у вас хромает.))

[Fedor 1 601]

Где доказательство и формулировка ?  Похоже у Вас в голове :)

 

In[486]:= A = {};   n = 9;    sx = 0.0;
For[i = 1, i <= n, i++,  x = Random[];  sx += x; 
  A = Append[A, x];  ]; 
A /= sx;
sx = 0.0;  For[i = 1, i <= Length[A], i++,  sx += A[];    px = \!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Product]\), \(j = 1\), \(Length[
     A]\)]\(A[\([j]\)]\)\);    px1 =  \!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Product]\), \(j = 1\), \(Length[A]\)]\((1 -
     A[\([j]\)])\)\) ;  ];

sx
px
 px1
sx = (Length[A] - 1 0    )^Length[A] 
px <= (  px1/sx)

Out[490]= 1.

Out[491]= 5.14731*10^-10

Out[492]= 0.340786

Out[493]= 387420489

Out[494]= True   

Бывает и при 9 :)

Изменено 10 апреля 2019 пользователем Fedor

[ДОБРЯК 605]

4 минуты назад, Fedor сказал:

Где доказательство и формулировка ?

При a=b=c...=1/n произведение abc...= мах

А дальше все уже понятно. ))

[Fedor 1 601]

Самой теоремы , а не частного случая :)

[ДОБРЯК 605]

2 минуты назад, Fedor сказал:

Самой теоремы , а не частного случая :)

Да уже двадцать раз писал 

максимальный коэффициент равен =  (n-1)**(n)