Хитрые математические и физические задачки.

[Jesse 979]

Чтобы все могли отвлечься от своих обычных рутинных обязанностей в плане решения инженерных прикладных задач, решил создать тему, в которую все могли бы кидать интересные задачки по математике и физике.. с акцентом на логику и смекалку и с минимальным уровнем математической и физической подготовки (7-9 кл. школы). 
Как-то ~месяц назад в одну из флеймовских тем уже кидал одну такую задачку, вроде некоторым даже понравилось, пытался решать народ.. недавно делал уборку в кладовке, и в стопке старых книг нашёл тетрадь со спец курсов по математике за 10-11кл, где нам и давали всякие такие задачки, содержащие уровень знаний 8-го класса, но ооочень хитрые и вот решил создать отдельную тему. Сам я тогда учился в физ-мат лицее, но учился так себе, и мало что мог решить из подобного рода задач.
Кину сразу 2 задачки: первая простая, вторая - посерьёзней, как раз со спец-курсов тех.

Вот та что попроще:

 

Ну а вот задачка специально для гуру ветки CAE "Динамика и прочность"

Пусть a, b и с - стороны треугольника. p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.

Доказать неравенство: 1/(p-a)^2  +  1/(p-b)^2  +  1/(p-c)^2  >=  1/r^2. 
Рисунок не прикладываю, думаю итак всё ясно

В общем, дерзайте и свои задачки интересные тоже скидывайте, особенно взрослое поколение.. в советском союзе  школа поинтересней была.. и сильней!))

[karachun 2 038]

По перво задаче - точка D будет в месте касания эллипса с фокусами в точках А и В и прямой l?

Изменено 14 ноября 2018 пользователем karachun

[Jesse 979]

19 минут назад, karachun сказал:

По перво задаче - точка D будет в месте касания эллипса с фокусами в точках А и В и прямой l?

Ну ты и усложнил. Всё намного проще))))

Ещё варианты?))

[karachun 2 038]

Но ведь правильно. Взять две кнопки, нитку и карандаш и стравливая нитку руками нарисовать несколько полуэллипсов до касания.

Отзеркалить точку В относительно прямой и провести прямую от этой новой точки до точки А. На пересечении и будет нужная точка.

Изменено 14 ноября 2018 пользователем karachun

[Jesse 979]

@karachun решение настолько простое, что ты смеятся будешь.

Эллипсами и не пахнет

Пусть народ ещё подумает, сразу ответ выкладывать не буду. Да и неправильно это по отношению ко всем))

[karachun 2 038]

Обновил предыдущее сообщение, оно?

[Jesse 979]

@karachun оно)

Но вообще надо привести доказательство. 

Развлекайся

[karachun 2 038]

А чего тут доказывать. BD всегда равно B1D так, как отзеркалено. Если немного передвинуть точку D то AD + DB1 станет больше, кратчайшее расстояние между двумя точками это прямая.

Изменено 14 ноября 2018 пользователем karachun

[Борман 2 397]

Знай наших.

[Jesse 979]

во!)@Борман указал на элементарнейшее приложение данной задачи, используемое в оптике - угол падения равен углу отражения.. если более строго, то свет выбирает путь наименьшего времени распространения.
Вообще, это задача Герона, которая была предложена ещё в 1-м веке до н.э.

а вот теперь смейтесь:

элементарное неравенство треугольника. никаких эллипсов тут нет
хорошо что никто конечными элементами не додумался решать 

 

конец.

Изменено 14 ноября 2018 пользователем Jesse

[soklakov 1 485]

2 часа назад, Jesse сказал:

Пусть a, b и с - стороны треугольника. p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.

Доказать неравенство: 1/(p-a)^2  +  1/(p-b)^2  +  1/(p-c)^2  >=  1/r^2. 

с одной стороны S^2=p^2*r^2

с другой стороны S^2= p(p-a)(p-b)(p-c)

откуда

1/r^2=p/{(p-a)(p-b)(p-c)}

остается сравнить выражения

(1) 1/(p-a)^2  +  1/(p-b)^2  +  1/(p-c)^2 

и

(2) p/{(p-a)(p-b)(p-c)}

Для этого оба приводим к общему знаменателю {(p-a)(p-b)(p-c)}^2

После чего упрощаем числители с обоих сторон, приводим подобные и вот тут должны убедиться, что числитель (1) больше чем числитель (2). Но я поленился.

 

[Jesse 979]

 

4 минуты назад, soklakov сказал:

остается сравнить выражения

(1) 1/(p-a)^2  +  1/(p-b)^2  +  1/(p-c)^2 

и

(2) p/{(p-a)(p-b)(p-c)}

думай как сделать это правильно без общего знаменателя)) направление решения верное
 

 

5 минут назад, soklakov сказал:

Но я поленился.

мой учитель в школе тоже постоянно говорил мне, что я ленивый. А я не верил..
Оказалось, что математике надо уделять больше, чем 15-20 минут в день)) так что давай давай добивай, дальше самое интересное!)

А ещё он упрекал всех в классе, то что мы не можем решать задачи за 8 класс будучи в 11. "Позорниками" называл

[Борман 2 397]

7 минут назад, soklakov сказал:

с одной стороны S^2=p^2*r^2

с другой стороны S^2= p(p-a)(p-b)(p-c)

Э-э-э-э... это читерство.

 

Так, ладно. 

@Jesse, а где хитрые физические ?

Задачи "на движение" не предлагать. 

[Jesse 979]

2 минуты назад, Борман сказал:

а где хитрые физические ?

это вы мне скажите!) я же в шапке отписал, пусть все скидывают))

 

Изменено 14 ноября 2018 пользователем Jesse

[soklakov 1 485]

4 минуты назад, Jesse сказал:

думай как сделать это правильно без общего знаменателя))

почему и зачем "без"? есть решение чуть проще и элегантнее? допускаю. но откуда императив? "не говорите мне, что делать, и я не скажу, куда вам идти".

4 минуты назад, Jesse сказал:

так что давай давай добивай, дальше самое интересное!)

1. там много писать, а "у него ноги, ему домой". может завтра. но право же - приводить подобные не самое интересное занятие.

2. там нет самого интересного, если вы предлагаете искать альтернативный путь, то надо сначала его найти, а лишь потом двигаться дальше. а я его пока не нашел.

6 минут назад, Борман сказал:

Э-э-э-э... это читерство.

почему? или в доказательство неравенства должен входить вывод формулы Герона? 

[Jesse 979]

7 минут назад, soklakov сказал:

есть решение чуть проще и элегантнее?

есть решение элегантное) вот тут смекалка и нужна!)

7 минут назад, soklakov сказал:

в доказательство неравенства должен входить вывод формулы Герона? 

неа) доказательство неравенства расписывается буквально в 5 строчек, 2 из которых вы уже написали))

я тогда ответ спешить выкладывать не буду, тут люди любознательные наверняка ещё есть на форуме которые захотят "тряхнуть стариной")))
выложу ответ в пон-к. если раньше никто не решит

Изменено 14 ноября 2018 пользователем Jesse

[AlexKaz 1 850]

3 часа назад, Jesse сказал:

Вот та что попроще:

 

1 час назад, Jesse сказал:

во!)@Борман указал на элементарнейшее приложение данной задачи, используемое в оптике - угол падения равен углу отражения.. если более строго, то свет выбирает путь наименьшего времени распространения.
Вообще, это задача Герона, которая была предложена ещё в 1-м веке до н.э.

а вот теперь смейтесь:

элементарное неравенство треугольника. никаких эллипсов тут нет

Ну это геометрическое решение, а не математическое. Математика может быть иная:

 

 

И у меня точку придётся искать графическим методом, печалька.

Изменено 14 ноября 2018 пользователем AlexKaz

[Jesse 979]

@AlexKaz так тоже можно, через экстемум функции все дела.. но согласитесь, что фраза "сторона треугольника всегда меньше суммы двух других" звучит как-то короче
лучше присоединяйтесь пока к доказательству другой задачки))
ну а я пока "Библиотечку Квант" полистаю, физическую задачку тут просят..

Изменено 14 ноября 2018 пользователем Jesse

[Jesse 979]

Физическая задачка специально для искушённых))..

Для ясности скажу, что взаимодействием песчинок между собой можно пренебречь. Также известна масса песчинки m.
Enjoy!)

Изменено 15 ноября 2018 пользователем Jesse

[Борман 2 397]

0.07722мм.