Хитрые задачи в МКЭ и МДТТ

[waze4534 0]

Необходимо рассчитать предельную нагрузку на подвешенную емкость. Как провести анализ не ограничив геометрию емкости? 

[Борман 2 391]

5 минут назад, ДОБРЯК сказал:

Так и я вам несколько дней объясняю, что эти новые вектора не будут ортогональны через матрицу.

Предположим мы повернули вектора х в натянутой плоскости и получили вектора х1.

После умножения  x1т*А*x1 на выходе будет не диагональная матрица и на главной диагонали уже не будут собственные числа.

Я не понимаю, что вы пишите, и, во избежание рецидива, предлагаю завершить обсуждение.

[ДОБРЯК 606]

4 минуты назад, Борман сказал:

Я не понимаю, что вы пишите, и, во избежание рецидива, предлагаю завершить обсуждение.

Вы подумайте на холодную голову, перечитайте мои сообщения, я уверен что вы поймете, что другие вектора в натянутой плоскости не будут ортогональны через матрицу. Ключевые слова ортогональны через матрицу.

Иначе вам нужно признать, что для главных напряжений, можно найти бесконечное количество систем координат.:=)

[ДОБРЯК 606]

1 час назад, Борман сказал:

xт*А*x = xт*(А*x) = лежачий_вектор * стоячий_вектор = скаляр.

Вы все правильно пишите есть два вектора х1 и х2. Объясню в понятных вам преобразованиях.

x1т*А*x1 = лежачий_вектор * стоячий_вектор = первое собственное число.

x2т*А*x2 = лежачий_вектор * стоячий_вектор = второе собственное число.

но для собственных векторов обязательно

x1т*А*x2 = лежачий_вектор * стоячий_вектор = 0 и

x2т*А*x1 = лежачий_вектор * стоячий_вектор = 0 

Это условие ортогональности собственных векторов через матрицу.

Вот про эти нули про эту ортогональность я говорю уже несколько дней. 

Если вы сделаете какие то манипуляции с векторами х1 и х2, например повернете их в натянутой плоскости и новые вектора обозначите как х11 и х22, то получите

x11т*А*x22 = лежачий_вектор * стоячий_вектор != 0 не равно 0 и

x22т*А*x11 = лежачий_вектор * стоячий_вектор != 0 не равно 0

Условие ортогональности через матрицу А будет нарушено и это уже будут не собственные вектора.

 

Изменено 14 февраля пользователем ДОБРЯК

[Борман 2 391]

5 минут назад, ДОБРЯК сказал:

но для собственных векторов обязательно

x1т*А*x2 = лежачий_вектор * стоячий_вектор = 0 и

x2т*А*x1 = лежачий_вектор * стоячий_вектор = 0 

16 минут назад, ДОБРЯК сказал:

x2т*А*x1 = лежачий_вектор * стоячий_вектор = 0 

Это условие ортогональности собственных векторов через матрицу.

0 = х2т*А*х1 = х2т*(А*х1) = х2т * (w1*x1) = w1*(x2т * х1) => (x2т * х1) = 0

[ДОБРЯК 606]

7 минут назад, Борман сказал:

Не важно какие собственные числа получаются.

x1т*А*x1 = лежачий_вектор * стоячий_вектор = первое собственное число.

x2т*А*x2 = лежачий_вектор * стоячий_вектор = второе собственное число.

вот условие ортогональности для собственных векторов через матрицу обязательное условие

x1т*А*x2 = лежачий_вектор * стоячий_вектор = 0 и

x2т*А*x1 = лежачий_вектор * стоячий_вектор = 0 

Только в этом случае обобщенная матрица будет диагональная, а вектора будут собственными.

Собственные вектора это система координат в которой матрица диагональная. Поэтому я постоянно и говорю про обобщенную систему координат. 

Вы путаете ортогональность векторов и ортогональность векторов через матрицу. Подумайте на эту тему...

 

Вернее вас запутали. :=)

[Fedor 1 616]

Наверное все-таки ортогональность с весом нужна в механике. Смысл в том, что вектор  перемещений, умноженный на матрицу жесткости дает вектор сил и он по направлению совпадает с вектором от массовых сил. Ну и они равны с множителем собственным числом.  В динамике нужна масса без нее статика будет...   

Насколько помню и в матфизике когда ищут собственные числа линейных операторов, то используют ортогональность с весовыми функциями... Правда давно этим занимался, подзабыл уже.  Пятьдесят лет прошло  https://125.spbstu.ru/  а у меня есть значок с 75  годами. Сходить бухнуть с однокашниками что ли ...      :) 

 

Изменено 14 февраля пользователем Fedor

[ДОБРЯК 606]

6 часов назад, Борман сказал:

 х2т*(А*х1) = х2т * (w1*x1)

Вот ошибка в цепочке ваших рассуждений. Вы матрицу [A] заменили на собственное число. 

А на самом деле если матрицу  [A] справа умножить на вектор {x1} то на выходе будет вектор {x3}

 х2т*(А*х1) = х2т * x3 = 0

Если повернуть вектора х1 и х2 в натянутой плоскости и обозначить новые вектора как х11 и х22, то

 х22т*(А*х11) = х22т * x33 != 0 не равно нулю.

Новые вектора х11 и х22 не будут ортогональны через матрицу.

Изменено 14 февраля пользователем ДОБРЯК

[Борман 2 391]

5 часов назад, ДОБРЯК сказал:

Вот ошибка в цепочке ваших рассуждений. Вы матрицу [A] заменили на собственное число.

Это же по определению с.ч. и с.в.

А*х1 = w1*x1

[ДОБРЯК 606]

13 часов назад, Борман сказал:

0 = х2т*А*х1 = х2т*(А*х1) = х2т * (w1*x1) = w1*(x2т * х1) => (x2т * х1) = 0

Давайте еще раз. А - это матрица х1 и х2 - вектора. И  w1 - матрица.

А вы считаете что w1 это скаляр. Вы переставили местами вектор х2т и матрицу w1. 

А этого делать низя...:=)

[ДОБРЯК 606]

@Борман мы в свое время решали задачу начальной потери устойчивости пластины при чистом сдвиге. Касательные напряжения были равны 10. Плоское напряженное состояние ПНС.

Тензор напряжений - матрица 2х2 обозначим как А

|0 10|
|10 0|

На какой какой угол мне нужно повернуть этот тензор напряжений, чтобы получить главные напряжения, чтобы матрица стала диагональной? 

[Борман 2 391]

2 минуты назад, ДОБРЯК сказал:

На какой какой угол мне нужно повернуть этот тензор напряжений, чтобы получить главные напряжения, чтобы матрица стала диагональной? 

Я пас.

Кто-то должен был первый остановиться.

[ДОБРЯК 606]

Давайте остановимся.

Если вы матрицу и вектор переставляете местами и не понимаете в чем ошибка, то нужно остановиться...:=)

 

[Fedor 1 616]

Так бывает вектор строка, а бывает вектор столбец. Транспонированием один переходит в другой :)

Изменено 15 февраля пользователем Fedor

[ДОБРЯК 606]

21 час назад, Борман сказал:

21 час назад, ДОБРЯК сказал:

Для матрицы какой размерности вы нашли собственные числа w1 = w2 = w, и два собственных вектора? 

Это не имеет значения, но пусть 3 х 3. 

Только для размерности 2х2 будет неопределенность при кратных частотах. Это и понятно матрица с кратными частотами 2х2. Ничего не меняется в любой системе координат.

Это же в учебнике написано.

 

[Jesse 969]

19 часов назад, Борман сказал:

0 = х2т*А*х1 = х2т*(А*х1) = х2т * (w1*x1) = w1*(x2т * х1) => (x2т * х1) = 0

Джентльмены, но ведь это для нормальных матриц, т.е. для тех, которые коммутируют со своей эрмитово-сопряжённой матрицей.
Вот как пример взять такую простую нормальную треугольную матрицу A:
 

:

 

Собственные числа находятся на диагонали. Они различны и очень близки, а собственные векторы её почти параллельны (не ортогональны).
Такие матрицы возникают при байпасном переходе к турбулентности или когда оболочка с чувстивительностью к дефектам теряет устойчивость...)
Хотя может и нет..)

 

[ДОБРЯК 606]

Но для N-мерного нет неопределенности. Читаете ниже. Для 3-х мерного пространства нет неопределенности.

@Jesse почитайте книжку https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/Uilkinson1970ru.pdf

стр. 25.

Неопределенность только для матрицы 2х2 с кратными собственными числами. Или для матрицы 3х3 с тремя кратными числами.:=)

Или матрицы 4х4 с четырьмя кратными числами и т.д. :=)

12.02.2024 в 10:03, Борман сказал:

А вот кстати, колебания балки симметричного сечения.

Если сечение круглое, то сиса найдет две одинаковые частоты с разными формами. Эти формы в линейной комбинации могут дать любую правильную форму для этой частоты.

Если у вас матрица жесткости 2х2 с двумя кратными частотами, то ни одна программа ничего не найдет.

Эта задача не имеет физического смысла. Диагональная матрица жесткости размером 2х2. :=)

Похоже что вы сами себе морочите голову...

[Борман 2 391]

22 минуты назад, ДОБРЯК сказал:

Но для N-мерного нет неопределенности. Читаете ниже. Для 3-х мерного пространства нет неопределенности.

 "Все же можем выбрать" - не похоже на отсутствие неопределенности. Если есть два одинаковых яблока (неопределенность), то мы все же можем выбрать одно.

 

22 минуты назад, ДОБРЯК сказал:

Похоже что вы сами себе морочите голову...

"Похоже" ? Это сколько процентов неопределенности ?

Изменено 15 февраля пользователем Борман

[ДОБРЯК 606]

11 минут назад, Борман сказал:

"Все же можем выбрать" - не похоже на отсутствие неопределенности.

Есть тензор напряжений 3х3. Два  главных напряжения - кратные. Сколько существует систем координат в которых этот тензор диагональный?

Бесконечное количество или одна? :=)

[Борман 2 391]

7 минут назад, ДОБРЯК сказал:

Два  главных напряжения - кратные.

Это же всестороннее сжатие/растяжение в плоскости. Нет выделенного направления.

[ДОБРЯК 606]

7 минут назад, Борман сказал:

Это же всестороннее сжатие/растяжение в плоскости. Нет выделенного направления.

В плоскости тензор 2х2. И если 2 кратных главных напряжений, то систем координат бесконечное количество.

@Борман я задал вопрос про тензор 3х3

19 минут назад, ДОБРЯК сказал:

Есть тензор напряжений 3х3. Два  главных напряжения - кратные. Сколько существует систем координат в которых этот тензор диагональный?

Бесконечное количество или одна? :=)

Сколько?:=)

Изменено 15 февраля пользователем ДОБРЯК