О собственных частотах и формах

[ДОБРЯК 607]

7 минут назад, Fedor сказал:

Я тоже через Якоби обычно определял.

И зачем было пользователю открытых кодов голову морочить? Он же поверил. 

[Fedor 1 625]

Здесь не церковь чтобы верить. Просто одну и ту же задачу можно решить многими способами. Но суть то одна .  найти собственные числа и собственные вектора. Я  просто предположил что при мощном распараллеливании возможно по постмодернистски вернуться к классике и искать через корни характеристического полинома. Кстати возможно и не программисту решать сколько итераций , а например по гидростатическому давлению или иному инварианту тензора что желаемая точность достигнута. Тут еще можно покопаться в условиях сходимости а не задавать фиксированное значение :)

 

через корни полинома и решения систем возможно быстрее будет, коль скорость интересует. Там можно и прямые формулы получить из-за невысокой размерности линейного конечномерного оператора  :)

Изменено 28 октября 2018 пользователем Fedor

[ДОБРЯК 607]

13 минуты назад, Fedor сказал:

через корни полинома и решения систем возможно быстрее будет

Через корни полинома возникают численные проблемы. Не до скорости в этом способе решения. Вы просто не получите решение.

Вы уже забыли о чем был разговор 15 минут назад. 

[Fedor 1 625]

Цитата

 

То есть хотите сказать что двумя разными способами для одной задачи будете получать разные решения ?  Бред. Пивком охолонитесь  :)

[ДОБРЯК 607]

26 минут назад, Fedor сказал:

То есть хотите сказать что двумя разными способами для одной задачи будете получать разные решения ?    

В одном случае не будет численных проблем. В методе вращений.

А в том случае который предлагаете вы будут численные проблемы.

Я говорю, то что говорю. И не нужно коверкать мои слова. 

И если есть желание распараллелить, то используйте OpenMP, установите нужное количество ядер, и вперед. На каждом ядре вращайте тензор.

Если вы, конечно, понимаете, что такое OpenMP и как правильно с ним работать.

 

[Fedor 1 625]

http://stu.sernam.ru/lect_alg.php?id=80   Вот есть теорема, которая говорит, что проблем вроде комплексных чисел не будет. То есть их не может быть в принципе :)

 Если когда-то давным-давно помогал Юрию Тихомирову разбираться с Open GL  то смогу и с любыми другими оупенами, и библиотеками которые и сам делал не раз и не два, так что не смешите http://www.pinega3.narod.ru/grafic.htm   :)

Изменено 28 октября 2018 пользователем Fedor

[Fedor 1 625]

Видите что такое величина https://ru.wikipedia.org/wiki/Величина_(математика)   Соответственно и величина силы. Больше-меньше для векторов не определяется. А вот для величины вектора, то есть его длины это пожалуйста. Разница как между перемещением и расстоянием в величине скорости на спидометре  :)   

[ДОБРЯК 607]

В 27.10.2018 в 18:16, Fedor сказал:

Страуструп писал что есть в STL специальные массивы для агрессивной оптимизации кода и они раз в 30-35 ускоряют вычисление скалярных произведений в хороших компиляторах.

Вот этого мужики точно не знают.

Расскажите более подробно что это за массивы. И какой компилятор хороший в 2018 года. и где эта кнопка агрессивной оптимизации.

При решении задачи на собственные значения как раз вычисляются скалярные произведения.

Это ускорит программу в 35 раз. 

[Fedor 1 625]

Читайте Страуструпа о STL  там было написано. А кнопки в настройках компиляторов как обычно :)

 

https://ru.wikipedia.org/wiki/SSE   вроде с этим связано ...

Или их расширениями типа     https://ru.wikipedia.org/wiki/SSE4#Скалярное_умножение_векторов

 

Детально я не разбирался

Изменено 29 октября 2018 пользователем Fedor

[ДОБРЯК 607]

28 минут назад, Fedor сказал:

 

https://ru.wikipedia.org/wiki/SSE   вроде с этим связано ...

Или их расширениями типа     https://ru.wikipedia.org/wiki/SSE4#Скалярное_умножение_векторов

 

Детально я не разбирался

Вы в каком году живете @Fedor? Уже давно AVX512.

Все как обычно Детально я не разбирался.  

                         (2.1.3.12)

Как с корнями уравнения 2.1.3.12. Для матриц 1 000 000 х 1 000 000. Детально я не разбирался

[Fedor 1 625]

https://books.google.ru/books?id=taJSDwAAQBAJ&pg=PA121&lpg=PA121&dq=valarray+c%2B%2B+скалярное+произведение&source=bl&ots=NiOU4pEgam&sig=F3tLzbKkZVFmN5H4xCd8jXp1YCw&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjTiI3dnqveAhWEFCwKHZxRDYMQ6AEwAXoECAgQAQ#v=onepage&q=valarray c%2B%2B скалярное произведение&f=false     

 

https://ru.wikipedia.org/wiki/AVX  так это как раз для разработчиков компиляторов и библиотек  типа  https://en.wikipedia.org/wiki/Math_Kernel_Library   ... 

Изменено 29 октября 2018 пользователем Fedor

[ДОБРЯК 607]

10 минут назад, Fedor сказал:

https://books.google.ru/books?id=taJSDwAAQBAJ&pg=PA121&lpg=PA121&dq=valarray+c%2B%2B+скалярное+произведение&source=bl&ots=NiOU4pEgam&sig=F3tLzbKkZVFmN5H4xCd8jXp1YCw&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjTiI3dnqveAhWEFCwKHZxRDYMQ6AEwAXoECAgQAQ#v=onepage&q=valarray c%2B%2B скалярное произведение&f=false     

 

И где ускорение в 35 раз для трехмерных векторов? 

Опять скажете что детально не разбирались. :)

Вы видимо действительно считаете, что работу с такими векторами можно ускорить.

16 минут назад, Fedor сказал:

библиотек  типа  https://en.wikipedia.org/wiki/Math_Kernel_Library   ... 

Какое отношение MKL имеет к STL?

[jtok 851]

Здравствуйте

Никак не могу разобрать, что написано в формуле 2.1.3.2, ну и в выделенных красным местах? Не могли бы вы перезалить первое сообщение темы?

Показать содержимое  

Hide  

[Fedor 1 625]

Кто знает и кто сравнивал скорости вычисления скалярных произведений там и там. Читайте Страуструпа и ищите что и для каких и в каких условиях это работает. Но вся эта арифметика не имеет особого значения для мкэ. Не этого ждут те, кто методом пользуются. Да в общем все уже есть, это была интересная задачка в конце прошлого тысячелетия и в самом начале этого по инерции  :)

[ДОБРЯК 607]

15 минут назад, jtok сказал:

Здравствуйте

Никак не могу разобрать, что написано в формуле 2.1.3.2, ну и в выделенных красным местах? Не могли бы вы перезалить первое сообщение темы?

Я эту информацию продублировал в теме 

11 сообщение. 

Изменено 29 октября 2018 пользователем ДОБРЯК

[jtok 851]

22 минуты назад, ДОБРЯК сказал:

Я эту информацию продублировал в теме 

Спасибо, теперь всё гораздо понятнее стало.

[AlexKaz 1 848]

1 час назад, jtok сказал:

Никак не могу разобрать, что написано в формуле 2.1.3.2

По-сути то же самое, что U(t)=sin(w*t).

[ДОБРЯК 607]

Лучше я продублирую

 

Скрытый текст

2.1.3 Собственные колебания

 

Собственные колебания механической системы совершаются при отсутствии внешних сил. Полагая в "уравнениях движения" (2.1.1.18) правую часть  равной нулю, получим уравнения собственных колебаний [6]:

                             (2.1.3.1)

Решение уравнений (2.1.3.1) можно искать в виде гармоник с частотой колебания :

                                                                      (2.1.3.2)

Так как справедливы равенства:

то после подстановки  или  в уравнения (2.1.3.1) получим:

                         (2.1.3.3)

В уравнении (2.1.3.3) члены, зависящие от времени, опущены. Система уравнений (2.1.3.3) имеет фундаментальное значение в теории колебаний. Ее решение позволяет найти собственные частоты  и собственные формы колебаний  механической  системы, , где:  - число степеней свободы.

Общее решение системы уравнений (2.1.3.1) имеет вид:

(2.1.3.4)

Заметим, что в силу положительной определенности матриц  и  из (2.1.3.3) следует:

                              (2.1.3.5)

т.е. собственные частоты , () являются действительными (положи­тельными) числами, как и должно быть для консервативной системы. За исключением особых случаев, например, наличия определенной симметрии механической системы, все собственные частоты различны.

Покажем, что если

           (2.1.3.6)

то справедливы следующие формулы ортогональности собственных форм колеба­ний:

     (2.1.3.7)

Действительно, домножая векторные равенства

слева на  соответственно, получим:

       (2.1.3.8)

Так  как  матрицы  и  симметричные, то из (2.1.3.8) следует:

              (2.1.3.9)

Но  (см. (2.1.3.6)). Поэтому:  т.е. доказана справед­ливость второй формулы из (2.1.3.7). Отсюда с помощью (2.1.3.3) можно доказать справедливость первой формулы из (2.1.3.7). Для однозначного определения векторов собственных форм  необходимо ввести их нормировку. Введем сле­дующую нормировку собственных форм:

           (2.1.3.10)

В этом случае справедливы равенства:

         (2.1.3.11)

Таким образом, задача нахождения собственных колебаний механической системы свелась к задаче определения собственных частот и собственных форм для системы алгебраических уравнений (2.1.3.3):

                         (2.1.3.12)

Методы решения задачи (2.1.3.12) рассмотрены в главе 8.

 

 

33 минуты назад, AlexKaz сказал:

По-сути то же самое, что U(t)=sin(w*t).

Не правильно 

U(t)=U*sin(w*t)

[AlexKaz 1 848]

3 минуты назад, ДОБРЯК сказал:

U*

U - константа?

[ДОБРЯК 607]

7 минут назад, AlexKaz сказал:

U - константа?

Это вектор. 

Сейчас придет @Fedor , и будет доказывать, что так как модуль вектора это скаляр, то и U - константа (скаляр).