Задача из монографии Бата

[Nikk24 14]

Здравствуйте, прочнисты

 

Можете подсказать в чем моя ошибка? Не могу получить правильный функционал по задаче из книги "Методы конечных элементов":

 

Определяю работу внешних сил:

 

Работу внутренних сил:

 

Функционал:

 

Вариацию функционала (приравниваю нулю по условию стационарности):

 

 

Вычисляю интегралы по отдельности,  с учетом равенства нулю вариации на границах:

 

 

Из чего получаю:

 

И, соответственно, естественные граничные условия:

 

Выделенное желтым не верно - не соответствует уравнению изгиба балки. Ошибся, судя по-всему, в работе внешних сил, но где? 

 

 

 

[AlexKaz 1 822]

09.02.2023 в 02:51, Nikk24 сказал:

Из смысла формул понятно, что моя ошибка в работе внешних сил, но сейчас не могу ее определить

Как результат совмещения,

 

Вывод: прежде чем интегрировать, надо знать что интегрируется.

[Fedor 1 597]

Да   https://sopromato.ru/obshchie-teoremi/teorema-klapeyrona  

[Fedor 1 597]

   Интересно, те кто пишут такое понимают что такое определенный интеграл ?  :) 

[Борман 2 375]

36 минут назад, Fedor сказал:

Интересно

Интеграл по пути нагружения.:)

[Fedor 1 597]

Так все равно множество по которому интегрируют должно совпадать с мерой на нем. Путь нагружения это не само нагружение  :) 

Изменено 10 февраля 2023 пользователем Fedor

[Fedor 1 597]

Цитата

Другие интегралы [ править ]

Хотя интегралы Римана и Лебега являются наиболее широко используемыми определениями интеграла, существует ряд других, в том числе:

• Интеграл Дарбу , который определяется суммами Дарбу (ограниченными суммами Римана), но эквивалентен интегралу Римана . Функция интегрируема по Дарбу тогда и только тогда, когда она интегрируема по Риману. Преимущество интегралов Дарбу в том, что их легче определить, чем интегралы Римана.
• Интеграл Римана – Стилтьеса , расширение интеграла Римана, которое интегрируется по функции, а не по переменной.
• Интеграл Лебега-Стилтьеса , получивший дальнейшее развитие Иоганна Радона , который обобщает как интегралы Римана-Стилтьеса, так и интегралы Лебега.
• Интеграл Даниэля , который включает в себя интеграл Лебега и интеграл Лебега – Стилтьеса, не зависящий от мер .
• Интеграл Хаара , используемый для интегрирования локально компактных топологических групп, введен Альфредом Хааром в 1933 году.
• Интеграл Хенстока-Курцвейла , по-разному определенный Арно Данжуа , Оскаром Перроном и (наиболее элегантно, как калибровочный интеграл) Ярославом Курцвейлом , и разработанный Ральфом Хенстоком .
• Интеграл Ито и интеграл Стратоновича , которые определяют интегрирование по семимартингалам , таким как броуновское движение .
• Интеграл Юнга , который является разновидностью интеграла Римана-Стилтьеса по некоторым функциям неограниченной вариации .
• Интеграл грубого пути , который определен для функций, снабженных некоторой дополнительной структурой «грубого пути», и обобщает стохастическое интегрирование как для семимартингалов , так и для процессов, таких как дробное броуновское движение .
• Интеграл Шоке , субаддитивный или супераддитивный интеграл, созданный французским математиком Гюставом Шоке в 1953 году.
• Интеграл Бохнера , расширение интеграла Лебега на более общий класс функций, а именно, с областью определения, являющейся банаховым пространством .

https://en.wikipedia.org/wiki/Integral   вон их сколько разных, какой они имеют ввиду ? :) 

 

 

[Fedor 1 597]

http://sopromat.vstu.ru/metod/ucheb/ucheb_13.pdf   стоит посмотреть главу 9 по этому вопросу и стр 322-323  :) 

[Nikk24 14]

23 часа назад, AlexKaz сказал:

Как результат совмещения,

 

Вывод: прежде чем интегрировать, надо знать что интегрируется.

Благодарю, Александр

А из какой книги нарезка?

[AlexKaz 1 822]

45 минут назад, Nikk24 сказал:

А из какой книги нарезка?

Теория упругости, Амензаде. Думаю, найдёте и в других книгах по ТУ, Демидов, например.

Изменено 11 февраля 2023 пользователем AlexKaz

[Fedor 1 597]

Есть и более общий результат в математике  насколько помню - Теорема - Если  A y= f  имеет решение, то это решение дает минимум функционалу 1/2  (y, A y)  - (y,f )  

Верно и обратное - если есть функция, которая дает минимум этому функционалу, то она является и  решением этого   уравнения. 

 

Для одномерного случая это проверяется элементарно.  Такой функционал обычно называется энергетическим в задачах механики. Теорема справедлива при A>0  т.е    (x, A x)>=0 , и равна 0 при x=0 ... 

На этом, собственно, и основан мкэ и другие вариационные методы   http://pinega3.narod.ru/fmin.htm    :)

Изменено 11 февраля 2023 пользователем Fedor

[Nikk24 14]

Ну что ж,  спасибо всем за разъяснения и проявленное сочувствие.
А прав, как всегда, оказался Борман: в выражении работы внешних сил dA - это приращение работы от приращения этих сил, в выражении работы внутренних сил dA - это уже вся работа, совершенная  внутренними силами в элементе dx. Отсюда и разница в выражениях. Именно это я не понял и Борман на это указывал где-то вверху. 

[ДОБРЯК 603]

7 часов назад, Nikk24 сказал:

Ну что ж,  спасибо всем за разъяснения

Основная мысль, которую вам пытались донести, что работа внешних сил равна энергии деформации. А это первый сказал) Федор. 

10.02.2023 в 17:21, Борман сказал:

Интеграл по пути нагружения

@Nikk24 интегрируйте по пути нагружения, как объяснил вам Борман. :=)

[Борман 2 375]

7 часов назад, ДОБРЯК сказал:

Основная мысль, которую вам пытались донести, что работа внешних сил равна энергии деформации. А это первый сказал) Федор. 

Все уже привыкли что вы путаете цифры и слова. Но теперь вы стали путать верх и низ.

 

Читайте слова в зеленых рамках. Зеленый - это ВОТ ТАКОЙ. 

Если будут проблемы со сравнением чисел - обращайтесь.

Скрытый текст

 

[ДОБРЯК 603]

10.02.2023 в 08:04, Fedor сказал:

В сомнительных ситуациях логично плясать от печки - (s,e)/2=(f,u) - внутренняя энергия равна работе внешних сил. И дальше их расписать... 

@Борман не надо грязи. В этот раз не получится.

Дайте ссылку на свое сообщение в котором вы сказали, что энергия деформации равна работе внешних сил.

 

[Борман 2 375]

20 минут назад, ДОБРЯК сказал:

Дайте ссылку на свое сообщение в котором вы сказали, что энергия деформации равна работе внешних сил.

Как в том анекдоте... "Должен уметь найти слова в сообщении".

[ДОБРЯК 603]

8 часов назад, ДОБРЯК сказал:

А это первый сказал) Федор. 

@Борман у тебя опять какие-то проблемы в жизни.  Ты хоть читай мои сообщения, а потом грязь разводи. Ключевые слова - первый сказал. А ты что-то в зеленую рамочку через три обвел. В рамочку ты первый обвел.

Успокойся уже. :=)  

[soklakov 1 475]

4 минуты назад, ДОБРЯК сказал:

Ты хоть читай мои сообщения, а потом грязь разводи. Ключевые слова - первый сказал

А я смотрю борец за наполненность форума полезной информацией сдался. 

[Борман 2 375]

11 минут назад, ДОБРЯК сказал:

Ключевые слова - первый сказал. А ты что-то в зеленую рамочку через три обвел. В рамочку ты первый обвел.

Иначе никак. Вы же самостоятельно не можете найти в сообщении нужное слово. Про словосочетание - вообще молчу.

[ДОБРЯК 603]

4 минуты назад, Борман сказал:

вообще молчу

Если бы ты молчал, то не было бы грязи на форуме. 

[Fedor 1 597]

Вообще-то первым мне сказал об этом школьный учитель физики Юрсаныч  много десятилетий назад когда рассказывал о работе и энергии .  еще и опыт показывал с грузиком и пружинкой :) 

Изменено 12 февраля 2023 пользователем Fedor