Задача из монографии Бата

[Nikk24 14]

Здравствуйте, прочнисты

 

Можете подсказать в чем моя ошибка? Не могу получить правильный функционал по задаче из книги "Методы конечных элементов":

 

Определяю работу внешних сил:

 

Работу внутренних сил:

 

Функционал:

 

Вариацию функционала (приравниваю нулю по условию стационарности):

 

 

Вычисляю интегралы по отдельности,  с учетом равенства нулю вариации на границах:

 

 

Из чего получаю:

 

И, соответственно, естественные граничные условия:

 

Выделенное желтым не верно - не соответствует уравнению изгиба балки. Ошибся, судя по-всему, в работе внешних сил, но где? 

 

 

 

[soklakov 1,389]

8 часов назад, Nikk24 сказал:

Выделенное желтым не верно - не соответствует уравнению изгиба балки.

Напомните, пжалста, какой верный ответ ожидается.

[Nikk24 14]

14 часов назад, soklakov сказал:

Напомните, пжалста, какой верный ответ ожидается.

Вот так должно быть у балки:

Омега - смещение, производная от омеги - поворот, 

[Борман 2,283]

Наверное я что-то не понял, но у вас какие то странные интегралы.

Работа внешних сил - это 0,5*Момент*угол, либо интеграл по углу от переменного момента, но тогда уже без 0,5. Но никак не интеграл по длине.

 

Работу внутренних сил тоже не очень понял.

[soklakov 1,389]

4 часа назад, Nikk24 сказал:

18 часов назад, soklakov сказал:

ожидается.

Вот так

Борман выручил?

Как всегда впрочем)

[Nikk24 14]

7 часов назад, Борман сказал:

Наверное я что-то не понял, но у вас какие то странные интегралы.

Работа внешних сил - это 0,5*Момент*угол, либо интеграл по углу от переменного момента, но тогда уже без 0,5. Но никак не интеграл по длине.

 

Работу внутренних сил тоже не очень понял.

Отвечу картинкой, неудобно набирать здесь текст с формулами.

Из смысла формул понятно, что моя ошибка в работе внешних сил, но сейчас не могу ее определить

[Nikk24 14]

10 минут назад, Nikk24 сказал:

Отвечу картинкой, неудобно набирать здесь текст с формулами.

Из смысла формул понятно, что моя ошибка в работе внешних сил, но сейчас не могу ее определить

Подозреваю, что учить численные методы по этой монографии Бата - так себе мысля. Не для того он эту книгу писал

[soklakov 1,389]

23 минуты назад, Nikk24 сказал:

Из смысла формул понятно, что моя ошибка в работе внешних сил, но сейчас не могу ее определить

Борман же написал)

Либо половина, либо интеграл. Что в общем-то логично. 

А у вас первая же формула с половиной и интегралом.

25 минут назад, Nikk24 сказал:

Отвечу картинкой

Картинка из монографии что ли?

[Nikk24 14]

1 час назад, soklakov сказал:

Борман же написал)

Либо половина, либо интеграл. Что в общем-то логично. 

А у вас первая же формула с половиной и интегралом.

Картинка из монографии что ли?

Картинка из меня, а по остальному надо разбираться.

[soklakov 1,389]

1 минуту назад, Nikk24 сказал:

Картинка из меня,

Откуда у вас там половина перед интегралом?

[Nikk24 14]

19 часов назад, soklakov сказал:

Откуда у вас там половина перед интегралом?

Разобрался, насколько это возможно. Элементарная работа внешних сил берется полностью, элементарная работа внутренних - с множителем 1/2. Из этого уже получается ожидаемый результат.
Цитаты из Даркова-Шпиро

- для работы внешних сил

- внутренних

 

И вот это мне  не понятно, так как и внутренние и внешние силы приложены статически - 1/2 должна быть и там и там. У Даркова этот вопрос не объяснен. Чего-то я не понимаю. Предполагаю, что так сделано из-за разницы в выражении элементарного перемещения: для работы внешних сил оно определяется через силу и после интегрирования вся работа будет с множителем 1/2, для работы внутренних сил перемещение определяется от х и после интегрирования 1/2 не будет. 

[Борман 2,283]

6 часов назад, Nikk24 сказал:

Выложите книгу сюда.

[Борман 2,283]

Вы неправильно поняли написанное

 

Это все работа от условно постоянно силы, которую конечно же надо делить на 2.

Здесь dA - это не приращение работы на перемещении dx, а это работа сил, внешних для элемента dx. Ну или энергия внутри элемента dx.

 

Так что либо так

Либо так

 

 

Edited February 10 by Борман

[Fedor 1,501]

В сомнительных ситуациях логично плясать от печки - (s,e)/2=(f,u) - внутренняя энергия равна работе внешних сил. И дальше их расписать... 

[Nikk24 14]

4 часа назад, Борман сказал:

Вы неправильно поняли написанное

 

Это все работа от условно постоянно силы, которую конечно же надо делить на 2.

Здесь dA - это не приращение работы на перемещении dx, а это работа сил, внешних для элемента dx. Ну или энергия внутри элемента dx.

 

Так что либо так

Либо так

 

 

Да почему внутренняя энергия равна половине работы внутренних сил, а внешняя - всей? И там и там силы прикладываются статически? 

3 часа назад, Fedor сказал:

В сомнительных ситуациях логично плясать от печки - (s,e)/2=(f,u) - внутренняя энергия равна работе внешних сил. И дальше их расписать... 

Да почему внутренняя энергия равна половине работы внутренних сил, а внешняя - всей? И там и там силы прикладываются статически? 

[Fedor 1,501]

Потому, что при росте деформаций растут и напряжения. График сигма- эпсилон вспомните. Внутренняя энергия это треугольник под графиком. А внешняя сила действует с начала в полную силу и до конца перемещений. Если график построить сила-перемещение то будет прямоугольник Так в школе объясняли :) 

[soklakov 1,389]

1 час назад, Nikk24 сказал:

Да почему внутренняя энергия равна половине работы внутренних сил, а внешняя - всей?

Потому что это не так.

1 час назад, Nikk24 сказал:

И там и там силы прикладываются статически

Вы там выше разные формулы приводите. Для силы постоянной а для момента нарастающего.

14 часов назад, Nikk24 сказал:

И вот это мне  не понятно, так как и внутренние и внешние силы приложены статически - 1/2 должна быть и там и там.

Статически - необязательно постоянные. Могут быть постоянными, а могут нарастать с нуля до некоторого значения на искомом перемещении.

[Борман 2,283]

Короче глюк присутствует только я пока не понял где. Понял только что...

[soklakov 1,389]

6 часов назад, Борман сказал:

Это все работа от условно постоянно силы, которую конечно же надо делить на 2.

Может от возрастающей надо делить на два?

[Fedor 1,501]

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/9405d400-5fc0-9f4a-23a2-8c7826ee4d1b/00144678250804362/00144678250804362.htm#:~:text=Потенциальная энергия при упругой деформации,между собой посредством сил упругости.

 

Можно считать, что по определению -   :)