Linear dynamic vs Nonlinear dynamic. LTI systems.

[Jesse 958]

Раз уж тема динамики в тренде, задам и я вопрос, который давно терзает мне душу..

К примеру, нужно посчитать ударное воздействие. Как мы действуем в МКЭ? Если конструкция линейная - нет контактов, линейный материал, нет больших перемещений (геометрической нелинейности) - то смело считаем в линейной динамике на основе собственных (постоянных!) частот.
НО!! Если воздействие, как говорят, весьма высокочастотное, или его скорость сравнима с распространением упругих волн в материале, то рекомендуется использовать нелинейную динамику (причём явный решатель, но не в этом вопрос). Я даже ссылки приводить не буду, наверняка многие расчётчики сталкивались с такой рекомендацией.
Но почему?? Почему даже если система линейная, то нужен нелинейный решатель???

Решил для начала немного копнуть в теории..
Вот статья (и её русскоязычный эквивалент).
https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_time-invariant_system
https://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_линейных_стационарных_систем
Там, в общем-то, тоже идёт разделение на линейность (linearity) и стационарность (time-invariance).
Причём под стационарностью в этих и смежных статейках подразумевается постоянство передаточной функции, то бишь характеристик системы (частот). А под линейностью имеют в виду просто тот факт, что у нас линейный диффур и можно пользоваться принципом суперпозиции..

Решил также поделать тесты на простых модельках.
Такая вот шарнирно-опёртая балочка со скользящей правой заделкой (неупрочняющаяся система).

Материалы и воздействие задал такими, чтоб волна не успела "добежать" и отразиться.. короче, чтоб можно было сравнить решения в нелинейной и линейной динамике по максимальному перемещ/ускорению без демпфирвоания.
Для начала хотел убедиться в квазистатическом характере линейной динамики. ЧТо это означает? Что мы по сути численно решаем параболический диффур, где решение "ощущается" везде и сразу (хоть и разное по величине в разных местах); в отличие от гиперболического диффура, где реакция ограничена скоростью воздействия.
Сравниваю решения в один и тот же момент времени ~0.0012 c

Cлева - линейщина. Справа - нелинейщина. Видно к этому моменту времени воздействие ещё не успело дойти до заделки (10^-30 просто погрешность видимо), хотя макс прогиб ~ одинаковые.
 

Вывожу графики макс. ускорения в центре (как более характерного и показательного в отличие от перемещ).

видно, что в нелинейке макс. ускорение более чем в 2 раза больше! Так в чём же природа этой нестационарности? Получается, что собственные частоты каким-то образом меняются при быстром воздействии... но почему? Ведь линейность!

[AlexKaz 1 822]

А для чего оценивать пик, если надо оценивать усреднённый импульс за заранее заданный период? Ну, прилетит допустим 2х воздействие вместо 1х за микросекунду - металл даже не почувствует.

Изменено 28 мая 2021 пользователем AlexKaz

[Jesse 958]

2 минуты назад, AlexKaz сказал:

А для чего оценивать пик

ничего лучше в голову не пришло как сравнить оба подхода)

 

2 минуты назад, AlexKaz сказал:

если надо оценивать усреднённый импульс за заранее заданный период? Ну, прилетит допустим 2х воздействие вместо 1х за микросекунду - металл даже не почувствует.

хм.. не подумал об этом..

[soklakov 1 475]

1 час назад, Jesse сказал:

видно, что в нелинейке макс. ускорение более чем в 2 раза больше!

не видно. этот очень узкий пик вообще не стоит рассмотрения. и если его отбросить, то отличия еще поискать придется, хотя они и есть.

1 час назад, Jesse сказал:

Вывожу графики макс. ускорения в центре (как более характерного и показательного в отличие от перемещ).

а перемещения чего? сошлись ?

[Jesse 958]

1 час назад, soklakov сказал:

этот очень узкий пик вообще не стоит рассмотрения. и если его отбросить, то отличия еще поискать придется, хотя они и есть.

ну как это отбросить? возбуждение у меня аналогичного характера - очень "крутое". Уменьшил в нелинейке шаг в 10 раз: получил даже увеличенный макс пик по ускорению. В целом картина тоже поменялась. Наверно, из-за отсутствия демпфирования...

 

1 час назад, soklakov сказал:

а перемещения чего? сошлись ?

в целом да. В одни и те же моменты времени разница +-10%. В конце расчёта почти то же самое

[soklakov 1 475]

12 минут назад, Jesse сказал:

ну как это отбросить?

фильтром сглаживания

12 минут назад, Jesse сказал:

Наверно, из-за отсутствия демпфирования...

вообще, если помните ачх одномассового осциллятора - демпфирование влияет на результат только на резонансе. а для резонанса нужна гармоническая нагрузка. демпфирование, конечно, учитывать нужно... но я не припомню чтобы в транзиенте оно хоть раз разительно изменило результат. наверное, потому что я не считал мед и варенье.

[Jesse 958]

2 часа назад, soklakov сказал:

2 часа назад, Jesse сказал:

ну как это отбросить?

фильтром сглаживания

не..) я к тому что нельзя такое отбрасывать.. возбуждение у меня аналогичный характер имеет

2 часа назад, soklakov сказал:

но я не припомню чтобы в транзиенте оно хоть раз разительно изменило результат.

в моём случае скорей всего волна отразилась несколько раз и суммировалась... только там можно объяснить этот нарастающий "шум", которое слихвой погасило демпфирование

[Jesse 958]

5 часов назад, Jesse сказал:

Так в чём же природа этой нестационарности? Получается, что собственные частоты каким-то образом меняются при быстром воздействии... но почему? Ведь линейность!

на этот ключевой вопрос пока никто ещё не попытался ответить.. внимание всех приковано к графикам
Ещё раз: почему при решении задачи в мкэ, когда имеем дело с околозвуковыми процессами, ударными волнами и т.п., следует исп-ть нелинейный решатель, несмотря на тот факт, что нелинейности в задаче отсутствуют?

[soklakov 1 475]

25 минут назад, Jesse сказал:

Ещё раз: почему при решении задачи в мкэ, когда имеем дело с околозвуковыми процессами, ударными волнами и т.п., следует исп-ть нелинейный решатель, несмотря на тот факт, что нелинейности в задаче отсутствуют?

Добряк же писал. Хочешь посмотреть ударную волну - мельчишь шаг. А если уж замельчил, то чего тратиться на неявную схему, явная быстрее.

[ДОБРЯК 602]

13 минут назад, Jesse сказал:

на этот ключевой вопрос пока никто ещё не попытался ответить.. внимание всех приковано к графикам
Ещё раз: почему при решении задачи в мкэ, когда имеем дело с околозвуковыми процессами, ударными волнами и т.п., следует исп-ть нелинейный решатель, несмотря на тот факт, что нелинейности в задаче отсутствуют?

@Jesse вы используете столько терминов и задаете сразу так много вопросов, что трудно на них ответить.

Явные и неявные методы не имеют отношения к тому что вы называете нелинейный решатель.

Если у вас действительно есть желание научиться решать такие задачи. То начинать нужно с простых тестов. И их усложнять. И анализировать результаты. Но на это потребуется много времени.

Видно что вы занимаетесь этим факультативно. Когда у вас появляется свободное время.

Вот как вам объяснить что метод Ньюмарка не имеет отношения к нелинейности. Или какой-нибудь явный метод. Вы же не говорите какими методами решает ваша программа...

[Jesse 958]

8 минут назад, soklakov сказал:

Хочешь посмотреть ударную волну - мельчишь шаг

я не посмотреть волны хочу, а получить более точный реалистичный ндс)

 

4 минуты назад, ДОБРЯК сказал:

Вы же не говорите какими методами решает ваша программа...

в моей программе Ньюмарк неявнй метод. Явный - центральные разности. Есть ещё какой-то явный метод в анализе на ударную нагрузку Drop test, но я пока не выяснил какой именно

 

5 минут назад, ДОБРЯК сказал:

Явные и неявные методы не имеют отношения к тому что вы называете нелинейный решатель.

да. Имеют отношение не к нелинейному решателю, а к численному интегрированию диффура.. последний может быть линейным или нелинейным. Но это даже не так важно на самом деле.. эти и другие статьи говорят, что при оч быстром воздействии будет меняться передаточная функция; будет нестационарность; анализ линейной динамики на основе собственных частот будет неверен. Вот я и хочу выяснить в чём механизм.. Пока что ясно что квазистатика не работает. Но почему она не работает?

[ДОБРЯК 602]

29 минут назад, Jesse сказал:

Но это даже не так важно на самом деле.. эти и другие статьи говорят, что при оч быстром воздействии будет меняться передаточная функция; будет нестационарность; анализ линейной динамики на основе собственных частот будет неверен.

Все зависит от количества собственных частот которые вы определите. 

Если не умеете решать через собственные частоты, то решайте с полной матрицей масс и жесткости. Нелинейность к этому не имеет никакого отношения.

 

[ДОБРЯК 602]

14 часов назад, Jesse сказал:

К примеру, нужно посчитать ударное воздействие. Как мы действуем в МКЭ? Если конструкция линейная - нет контактов, линейный материал, нет больших перемещений (геометрической нелинейности) - то смело считаем в линейной динамике на основе собственных (постоянных!) частот.

Вот ошибка в рассуждениях. Ударное воздействие считаем в линейной динамике но с полными матрицами масс и жесткости. Это точка отсчета.

Никаких собственных частот определять не нужно.

Но если вы сделаете тесты и будете сравнивать решение через собственные частоты и с полными матрицами масс то увидите что практически все собственные частоты нужно определить. 

И увидите что быстрее и точнее задача считается с полными матрицами.

 

14 часов назад, Jesse сказал:

НО!! Если воздействие, как говорят, весьма высокочастотное, или его скорость сравнима с распространением упругих волн в материале, то рекомендуется использовать нелинейную динамику (причём явный решатель, но не в этом вопрос).

Всё то же самое и для высокочастотной нагрузки. 

В этих задачах ничего другого нет.

[Jesse 958]

6 часов назад, ДОБРЯК сказал:

Вот ошибка в рассуждениях. Ударное воздействие считаем в линейной динамике но с полными матрицами масс и жесткости. Это точка отсчета.

Никаких собственных частот определять не нужно.

какая разница. Прямой метод - это тот же анализ на основе собственных частот, просто без диагонализации, т.е. система уравнений связанная. В этом вся разница как я понимаю.
А так искомый вектор перемещений {x} = u{w}*e^iwt суть вектор комплексных гармоник.
Всё то же самое...

[ДОБРЯК 602]

5 минут назад, Jesse сказал:

какая разница. Прямой метод - это тот же анализ на основе собственных частот

Вот опять появился новый термин - прямой метод. Не буду спрашивать что сие значит.

@Jesse вы можете в своей программе решить задачу [M]{X}`` + [K]{X} = {F(t)}. Методом Ньюмарка. Не определяя собственные частоты.

Или вы в своей программе задаете количество собственных частот?

В этом уравнении [M]{X}`` + [K]{X} = {F(t)} нет собственных частот.

Вы можете объяснить в каких координатах вы решаете это уравнение?

[Jesse 958]

2 часа назад, ДОБРЯК сказал:

Вот опять появился новый термин - прямой метод. Не буду спрашивать что сие значит.

@Jesse вы можете в своей программе решить задачу [M]{X}`` + [K]{X} = {F(t)}. Методом Ньюмарка. Не определяя собственные частоты.

Или вы в своей программе задаете количество собственных частот?

В этом уравнении [M]{X}`` + [K]{X} = {F(t)} нет собственных частот.

Вы можете объяснить в каких координатах вы решаете это уравнение?

я могу решить эту задачу интегрированием во временной области на основе собственных частот, а могу интегрированием по схеме Ньютона-Рафсона с обновлением на каждом шаге матриц масс, Ж, и демпф-я (Ньюмарк, без СЧ).
Вопрос: почему для быстропротекающих прцоессов первый способ даст сбой (неправильный результат), несмотря на линейность задачи?

короч, видимо вся надежда на @Orchestra2603разъяснить что к чему

Изменено 29 мая 2021 пользователем Jesse

[ДОБРЯК 602]

16 часов назад, Jesse сказал:

какая разница. Прямой метод - это тот же анализ на основе собственных частот, просто без диагонализации, т.е. система уравнений связанная. В этом вся разница как я понимаю.

Вам все уже объяснили. Перечитайте тему. За вас программа решает частичную проблему собственных значений. А нужно решить полную проблему собственных значений. Именно это было сказано.

Но вы же не слышите. 

Это как в задаче про моменты инерции тела.

13 часов назад, Jesse сказал:

я могу решить эту задачу интегрированием во временной области на основе собственных частот, а могу интегрированием по схеме Ньютона-Рафсона 

Но если вы утверждаете что можете решить эту задачу интегрированием по схеме Ньютона-Рафсона.

То тему можете не перечитывать. Зря потратите время.

Изменено 30 мая 2021 пользователем ДОБРЯК

[Jesse 958]

[soklakov 1 475]

29.05.2021 в 17:02, Jesse сказал:

Вопрос: почему для быстропротекающих прцоессов первый способ даст сбой (неправильный результат), несмотря на линейность задачи?

суммировать формы и моделить распространение волны - одно и то же?

[Jesse 958]

11 часов назад, soklakov сказал:

суммировать формы и моделить распространение волны - одно и то же?

неа) 
но хотелось бы выявить механизм как именно метод суперпозиции форм даёт сбой.