О собственных частотах и формах

[ДОБРЯК 615]

Собственные колебания механической системы совершаются при отсутствии внешних сил и сил трения. Уравнения собственных колебаний:

                             (2.1.3.1)

Решение уравнений (2.1.3.1) можно искать в виде гармоник с частотой колебания :

                                                                      (2.1.3.2)

после подстановки  или  в уравнения (2.1.3.1) получим:

                         (2.1.3.3)

В уравнении (2.1.3.3) члены, зависящие от времени, опущены. Система уравнений (2.1.3.3) имеет фундаментальное значение в теории колебаний. Ее решение позволяет найти собственные частоты  и собственные формы колебаний  механической  системы, , где:  - число степеней свободы.

Общее решение системы уравнений (2.1.3.1) имеет вид:

(2.1.3.4)

Заметим, что в силу положительной определенности матриц  и  из (2.1.3.3) следует:

                              (2.1.3.5)

т.е. собственные частоты , () являются действительными (положи­тельными) числами, как и должно быть для консервативной системы. За исключением особых случаев, например, наличия определенной симметрии механической системы, все собственные частоты различны.

Можно показать, что если

           (2.1.3.6)

то справедливы следующие формулы ортогональности собственных форм колеба­ний:

     (2.1.3.7)

 

Для однозначного определения векторов собственных форм  необходимо ввести их нормировку.

Введем сле­дующую нормировку собственных форм:

           (2.1.3.10)

В этом случае справедливы равенства:

         (2.1.3.11)

Таким образом, задача нахождения собственных колебаний механической системы свелась к задаче определения собственных частот и собственных форм для системы алгебраических уравнений (2.1.3.3):

                         (2.1.3.12)

 

Изменено 18 сентября 2018 пользователем ДОБРЯК

[AlexKaz 1 851]

2 часа назад, ДОБРЯК сказал:

Для однозначного определения векторов собственных форм  необходимо ввести их нормировку.

Не суть как Вы их нормируете, т.к. демпфирование не вводится. Можно ссылку на первоисточник? т.к. Вы скопировали себя. Это не плохо и не хорошо, здесь нет доказательства и необходимости. Алгоритмы работы с разреженными матрицами + метод Ньюмарка позволяют довольно быстро решать динамическую задачу с исходными глобальными матрицами [M] и [K], поэтому я лично уже 3 года ничего не пересчитываю до диагонального вида. Тупо перевожу матрицы в разрёженные и скармливаю их Scilab'овскому или иному солверу. Вы же предлагаете сначала решать задачу на собственные значения, это далеко не всегда проводится быстро. Особенно в текущих релиях, когда контакты нельзя поделить в линейной постановки. Всюду в задачах предпочитают включать нелинейность, а моделят часто в лоб в переходном.

Почему я делаю всё время акцент на демпфирование - ну оно по-разному вводится. Я лично осилил только Рэлеевское, при котором нахожу и отрицательные, и мнимые корни, и даже вектора (кстати, что это получилась за хрень такая - надо подумать). Как у Вас - не знаю. Интересно же увидеть идею в развитии.

Изменено 18 сентября 2018 пользователем AlexKaz

[ДОБРЯК 615]

16 минут назад, AlexKaz сказал:

Алгоритмы работы с разреженными матрицами + метод Ньюмарка позволяют довольно быстро решать динамическую задачу с исходными глобальными матрицами [M] и [K]

Не могу согласиться с вами. Работа с разреженными матрицами, например, 1 млнх1 млн и работа с диагональными матрицами 100х100 дадут разную скорость решения.

А метод Ньюмарка останется. 

Ссылку на первоисточник дать не могу. Его нет в Интернете.

 

[Fedor 1 630]

Цитата

Итак - собственная частота незакрепленного объекта равна нулю.

А как же с космическими кораблями бороздящими просторы вселенной ?  Что же у них нет ненулевых собственных частот ?  Или, например, у Земли или Луны ...  Собственных чисел линейного оператора, матрицы, например, столько же какова и размерность матрицы    :)

 

https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение 

 

https://ru.wikipedia.org/wiki/Спектр_оператора  

Изменено 18 сентября 2018 пользователем Fedor

[ДОБРЯК 615]

В 10.12.2014 в 21:06, Борман сказал:

Итак - собственная частота незакрепленного объекта равна нулю.

Видимо автор говорит о чупа-чупс, который улетел в просторы вселенной. 

 

В 10.12.2014 в 21:06, Борман сказал:

Очевидно, он будет не качаться, а полетит вперед. Долго. Очень долго.
Немного отвлечемся. Что такое период колебаний? - это время, через которое система вернется в начальное положение. Улетевший в бесконечность объект вернется в начальное положение через бесконечное количество секунд. При этом частота колебаний является величиной обратной периоду колебаний. Соответственно, частота этих колебаний равна единице, деленной на бесконечность, то есть нулю.

Логика понятна. Период колебаний равен бесконечности, следовательно частота колебаний = 0. И частота всего одна. 

Так как линейный оператор, матрица улетел(а) о каких упругих частотах может идти речь.

Изменено 18 сентября 2018 пользователем ДОБРЯК

[ДОБРЯК 615]

3 часа назад, AlexKaz сказал:

Алгоритмы работы с разреженными матрицами + метод Ньюмарка позволяют довольно быстро решать динамическую задачу с исходными глобальными матрицами [M] и [K], поэтому я лично уже 3 года ничего не пересчитываю до диагонального вида. Тупо перевожу матрицы в разрёженные

Можете более подробно объяснить как вы получаете исходные глобальные матрицы [M] и [K] и как вы их потом переводите в разреженные?

 

3 часа назад, AlexKaz сказал:

Вы же предлагаете сначала решать задачу на собственные значения, это далеко не всегда проводится быстро.

Это быстрее чем интегрировать с матрицами  [M] и [K].

И это делается один раз, а потом  проводить расчеты меняя правую часть и демпфирование.

Изменено 18 сентября 2018 пользователем ДОБРЯК

[Fedor 1 630]

Цитата

И частота всего одна. 

Так как линейный оператор, матрица улетел(а) о каких упругих частотах может идти речь.

Писали же уже - их 6 нулей. 3 смещения и три вращения. Это как для недеформируемого  тела в аналитической механике.   А всего должно быть столько какова размерность матрицы жесткости коль тело деформируемое  ... :)

Изменено 18 сентября 2018 пользователем Fedor

[ДОБРЯК 615]

4 минуты назад, Fedor сказал:

Писали же уже - их 6 нулей. 3 смещения и три вращения.

Это если в эксперименте совершаются колебательные движения. Вы читайте внимательнее, что пишет автор цитаты

"Очевидно, он будет не качаться, а полетит вперед."

Под словом ОН понимается любой объект. 

А если объект исследования не будет "качаться", а полетит вперед, то как в таком эксперименте определить 6 нулевых частот и 6 ортогональных собственных форм?

Происходит подмена одного эксперимента другим. Поэтому и одна нулевая частота и одна форма колебаний - полет объекта в космосе. Раздел-то  для новичков. И объяснения все на пальцах. А пальцев не хватает.

[Fedor 1 630]

Когда пальцев не хватает можно еще кое что задействовать :)

[ДОБРЯК 615]

В 10.12.2014 в 21:06, Борман сказал:

Но чтобы иметь хоть какой-то результат придумали нормировать уравнение на массу. Вообще говоря, нормировать можно было на что угодно, но всем понравилось на массу.

Все, что можно было задействовать уже задействовали.)

[ДОБРЯК 615]

22 часа назад, AlexKaz сказал:

Интересно же увидеть идею в развитии.

Это позволяет создать математическую модель из упругих тел с линейными и нелинейными соединительными элементами. Например, создается математическая модель автомобиля. Упругая рама, кабина, платформа, двигатель. Нелинейными элементами моделируется подвеска, места крепления навесных агрегатов. Задается нагрузка, например, движение автомобиля по определенному дорожному покрытию и после решения получаете график изменения во времени ускорения, скорости, перемещения или напряжения в любой точке созданной модели автомобиля. Имея значения изменения напряжения во времени, мы выходим на расчет усталостной прочности и оценки долговечности конструкции в целом и отдельных ее узлов. Контактные элементы также легко моделируются. 

Решая данную задачу в обычных координатах время решения будет на 2-3 порядка больше. И результат будет тот же.

Такой прием позволяет решать задачи линейной и нелинейной динамики при минимальных ресурсах компьютера. 

 

 

[Fedor 1 630]

При нелинейных колебаниях вместо собственных чисел будут собственные функции...  Точность и надежность решения намного более дорогое свойство чем скорость решения...  :) 

Задачки плавности хода решались и на МИР 2. Знакомый писал программульку на Кировском заводе лет сорок назад :) 

Изменено 19 сентября 2018 пользователем Fedor

[ДОБРЯК 615]

3 минуты назад, Fedor сказал:

При нелинейных колебаниях вместо собственных чисел будут собственные функции...  Точность и надежность решения намного более дорогое свойство чем скорость решения...

Читайте внимательнее:

11 минуту назад, ДОБРЯК сказал:

Упругая рама, кабина, платформа, двигатель. Нелинейными элементами моделируется подвеска, места крепления навесных агрегатов.

Не определяют собственные числа для нелинейной модели.)

А определяют ускорения, скорости, перемещения или напряжения во времени.

Еще попытки будут?

 

[AlexKaz 1 851]

22 часа назад, ДОБРЯК сказал:

Можете более подробно объяснить как вы получаете исходные глобальные матрицы [M] и [K] и как вы их потом переводите в разреженные?

 

Поэлементно, как в литературе. Конкрентно мне нравится вид Kx,Ky,Kz, Kx,Ky,Kz, Kx,Ky,Kz,... Другим нравится Kx,Kx,Kx,Kx,.....,Ky,Ky,Ky,Ky,....,Kz,Kz,Kz,Kz,... В ANSYS, как я понял, построение глобальной матрицы параметризовано по элементам, и скорость построения бешеная.

Процедура Sparse() в Scilab переводит матрицу в разрежённую. Подробнее см. исходники Scilab.

2 часа назад, ДОБРЯК сказал:

Это позволяет создать математическую модель из упругих тел с линейными и нелинейными соединительными элементами

Как-то сомнительно. Надо бы посравнивать разные коды, иначе без контроля ошибок такого можно нарешать с нелинейными соединениями...

Мне очень понравился один видос про японский? софт, в котором проводят анализ люфтов в соединениях 3д-принтера, что-то типа контроля допусков и посадок. Щас к сожалению не могу скинуть, только через пару дней.

Изменено 19 сентября 2018 пользователем AlexKaz

[Борман 2 397]

9 минут назад, AlexKaz сказал:

Процедура Sparse() в Scilab переводит матрицу в разрежённую. Подробнее см. исходники Scilab

В смысле просто записыаает ее в формат для разреженных или поворачивает до разреженного состояния?

[soklakov 1 485]

1 минуту назад, Борман сказал:

поворачивает до разреженного состояния?

а "минимизирует ширину фронта" это о том же?

[AlexKaz 1 851]

3 минуты назад, Борман сказал:

просто записыаает ее в формат для разреженных

Да, плюс встроенный решатель СЛАУ поддерживает разреженные.

4 минуты назад, Борман сказал:

поворачивает до разреженного состояния?

Методы разрешения может и вращают, всё зависит от выбранного метода.

[Борман 2 397]

1 минуту назад, AlexKaz сказал:

Да,

Я как то давал ссылку на эти алгоритмы все.. Не видел ее ? 

[AlexKaz 1 851]

Неа. В Scilab стопудова используют свободные библиотеки типа LAPACK, BLAS, LINPACK. А методы есть в Бате.

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_numerical_libraries

 

[Борман 2 397]

6 минут назад, AlexKaz сказал:

Неа.

Посмотри в этой теме посты 124, 127, 129.

И можешь поугадывать, кто такой sapr3000. 

Изменено 19 сентября 2018 пользователем Борман