Полезная информация для всех расчетчиков

[ДОБРЯК 615]

В этой теме будем собирать полезную информацию для всех расчетчиков, а не только для новичков. Если информация есть в Интернете, то даем ссылку. Если информация в Интернете отсутствует, то набираем формулы в редакторе формул.

[ДОБРЯК 615]

Про собственные колебания много информации на форуме. Одни участники утверждают, что собственных колебаний нет, другие запускают молоток в открытый космос и на этом примере доказывают, что собственные колебания существуют. Пусть все это обсуждают в теме для Новичков.

Рассмотрим вынужденные колебания механической системы, вызванные внешними силами.

Скрытый текст

2.1.4 Вынужденные колебания

 

Рассмотрим вынужденные колебания механической системы, вызванные внешними силами, определяющими правую часть уравнений :

                        (2.1.4.1)

Пусть нам известны собственные частоты  и собственные формы  первых  колебательных мод . Так  как  во  многих задачах число степеней свободы механической системы , то определяемое на практике число первых колебательных мод . Первые моды соответствуют низшим частотам механической системы и поэтому во многих задачах являются определяющими. Поэтому искомое решение "уравне­ний движения" (2.1.4.1)  можно приближенно представить в виде суперпозиции первых  колебательных мод [6]:

                               (2.1.4.2)

Собственные формы колебаний  удовлетворяют следующим условиям (см. п. 2.1.3):

                                                                      (2.1.4.3)

Подставив разложение  по колебательным модам (2.1.4.2) в (2.1.4.1), получим:

откуда после домножения слева на  с учетом (2.1.4.3) получим систему  независимых дифференциальных уравнений относительно :

       (2.1.4.4)

где:         (2.1.4.5)

Считая, что при  механическая система покоится в положении равновесия, получим следующие начальные условия для уравнений (2.1.4.4):

                   (2.1.4.6)

Заметим, что уравнения (2.1.4.1) и (2.1.4.4) справедливы только для консервативной системы. В общем случае надо  учитывать  присутствующее в механической системе трение. Для силы трения, пропорциональной скорости, уравнения (2.1.4.4) следует записать в виде:

       (2.1.4.7)

Здесь введены коэффициенты трения . Рассмотрим общий метод аналитического решения задачи Коши:

                    (2.1.4.8)

Пусть сила  действует в течение бесконечно малого промежутка времени  и передает единичный "импульс" :

                             (2.1.4.9)

Произведя интегрирование (2.1.4.8) на промежутке времени  с правой частью , найдем, что "скорость"  испытывает при  скачек:

               (2.1.4.10)

Так как при  правая часть равна нулю, то для  получаем следующую задачу Коши:

(2.1.4.11)  (2.1.4.12)

Решение однородного уравнения (2.1.4.11) ищем в виде:

                                       (2.1.4.13)

Подставив (2.1.4.13) в (2.1.4.11), получим:

                          (2.1.4.14)

Уравнение (2.1.4.14) будет справедливо при значениях :

                                                                    (2.1.4.15)

Здесь предполагается, что  (малое трение).

Поэтому общее решение (2.1.4.11) имеет вид:

                       (2.1.4.16)

Используя начальные условия (2.1.4.12), найдем  и :

                        (2.1.4.17)

С помощью формул (2.1.4.15) - (2.1.4.17) получим следующий вид решения  задачи Коши (2.1.4.11) - (2.1.4.12):

 (2.1.4.18)

Решение  для импульсной силы  будем называть функцией Грина дифференциального уравнения  (2.1.4.11). Для линейных уравнений справедлив принцип суперпозиции решений. Так как для произвольной правой части  верно интегральное представление:

                     (2.1.4.19)

то из принципа суперпозиции следует, что решение (2.1.4.11) с начальными условиями (2.1.4.12) и правой частью  равно:

                  (2.1.4.20)

Здесь:  - функция Грина (2.1.4.18);

 - правая часть (2.1.4.11).

Таким образом, мы нашли решение задачи Коши (2.1.4.11) - (2.1.4.12):

                                                                    (2.1.4.22)

где: 

Рассмотрим несколько примеров. Пусть правая часть  имеет ступенчатый характер:

                           (2.1.4.23)

Подставив правую часть (2.1.4.23) в (2.1.4.22), получим:

(2.1.4.24)

Для случая гармонической силы , в отсутствии трения , найдем:

                                                                    (2.1.4.25)

В случае возбуждения, меняющегося по гармоническому закону , решение задачи Коши (2.1.4.8) можно получить более просто. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (2.1.4.8) равно сумме общего решения однородного уравнения (уравнения (2.1.4.8) без правой части) и частного решения неоднородного уравнения. Для нахождения искомого решения удобно перейти к следующему дифференциальному уравнению относительно комплексной перемен­ной :

               (2.1.4.26)

где: 

 - комплексная сила .

Если взять мнимую часть  уравнения (2.1.4.26), то получим уравнение (2.1.4.8). Найдем сначала общее решение однородного уравнения:

                        (2.1.4.27)

Ищем частное решение линейного однородного уравнения (2.1.4.27) в виде:

                                     (2.1.4.28)

После подстановки (2.1.4.28) в уравнение (2.1.4.27) в силу линейности уравнения получим следующее квадратное  уравнение для определения частот :

                       (2.1.4.29)

откуда найдем два корня :

                                                                    (2.1.4.30)

Здесь введена частота:

                                (2.1.4.31)

Используя формулу (2.1.4.28), получим общее решение однородного уравнения (2.1.4.27) как суперпозицию двух  линейно  независимых частных решений с произвольными комплексными множителями :

          (2.1.4.32)

Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения относительно действительной переменной  может  быть представлено в виде :

                                                                    (2.1.4.33)

где:  и  - произвольные действительные числа.

Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения (2.1.4.26). Будем искать решение в виде:

                                     (2.1.4.34)

 Для амплитуды  получим с помощью (2.1.4.26):

                           (2.1.4.35)

 

Поэтому частное решение (2.1.4.34) будет равно:

               (2.1.4.35)

 

где:  - сдвиг фазы.

Сдвиг фазы  может быть определен из следующей формулы:

                                                                    (2.1.4.36)

Если  (демпфирование отсутствует), то формула (2.1.4.36) значительно упрощается:

                     (2.1.4.37)

Таким образом, при малых значениях возбуждающей частоты  изме­нение силы  и перемещения  происходят в одной фазе , а при больших значениях  в противофазе .

Поэтому общее решение уравнения (2.1.4.8) будет равно:

(2.1.4.38)

Значения констант  и  определяются по начальным условиям задачи Коши (2.1.4.8):

                              (2.1.4.39)

Присутствие затухающего множителя  приводит к тому,  что при  достаточно  больших  значениях  времени  решение (2.1.4.38) равно:

               (2.1.4.40)

то есть не зависит от начальных условий! Следовательно, после окончания переход­ного процесса, определяющегося начальными условиями, колебания устанавливаются и становятся гармоническими со сдвигом фазы  относительно возбуждающей силы . Амплитуда установившихся колебаний (2.1.4.40) равна:

                  (2.1.4.41)

 

Так как обычно  то амплитуда как функция возбуждающей частоты  имеет ярко выраженный максимум при , где:  - собственная частота колебаний.

Заметим, что в случае произвольной периодической силы:

, где:  - период  гармонических  колебаний) ее можно разложить в ряд Фурье:

                                                                    (2.1.4.42)

где:  - ряд возбуждающих частот.

Для  предельное решение, отвечающее окончанию переходного процес­са, равно (см. (2.1.4.24)):

                                           (2.1.4.43)

Следовательно, можно сделать вывод, что в случае произвольной периодической возбуждающей силы  сначала имеет место переходный процесс, определяющийся начальными условиями. После завершения переходного процесса устанавливается периодическое решение , не зависящее от начальных условий. Это решение может быть представлено следующим рядом Фурье:

                                                                    (2.1.4.44)

где:  - значения функции  (2.1.4.36) при .

 

 

 

Если объяснять на пальцах, то при переходе в систему координат собственных векторов, матрицы [М] и [К] будут диагональные. И для каждого уравнения можно найти точное решение для некоторых видов нагрузок. Далее если сделать обратный переход – получаем решение в обычных координатах.

И не нужно ничего интегрировать ни методом Хаболта, ни методом Ньюмарка. Не нужно подбирать шаг интегрирования, который будет зависеть от решаемой задачи.

На этом пальцы закончились.

[Борман 2 397]

Похоже на Нобелевскую премию по литературе.

[Fedor 1 630]

Вроде это штатный метод решения систем ДУ через подстановку решения в виде экспоненты от матриц и описан с куче букварей. Лень даже в старые тетрадки с конспектами заглядывать :)

[ДОБРЯК 615]

15 часов назад, Fedor сказал:

Лень даже в старые тетрадки с конспектами заглядывать

В таких вопросах не нужно лениться.:)

Это будет полезная информация для всех расчетчиков.

Изменено 24 сентября 2018 пользователем ДОБРЯК

[Fedor 1 630]

Бесполезная если они не собираются в программисты подаваться которые пишут программы про математику .   :) 

Достаточно знать что есть две проблемы алгебры - решение систем и нахождение корней полиномом. Собственные числа - это вторая. Смысл собственных векторов в том, что существует направление движения деформируемого тела в котором  упругие силы и инерционные совпадают по направлению  F = CU    и Fi= MU  а коэффициенты связей этих векторов и есть собственные числа и чтобы их найти надо найти корни полинома то есть решать вторую алгебраическую проблему. В силу ее нелинейности - с мужеством и оптимизмом итерировать :) 

Изменено 24 сентября 2018 пользователем Fedor

[ДОБРЯК 615]

Если матрицу масс [М] заменить на матрицу [С] (геометрическую матрицу) и решить туже задачу  с мужеством и оптимизмом, то найдем точки бифуркации и формы потери устойчивости.

То есть решим задачу начальной потери устойчивости. 

 

Изменено 24 сентября 2018 пользователем ДОБРЯК

[Fedor 1 630]

Цитата

 [С] (геометрическую матрицу)

Вообще-то ее называют матрицей жесткости :)

Если заменим то получим (1-лябда) CU=0   . Ясно что вектор совпадает с самим собой по направлению  CU= лямбда CU :)

Изменено 24 сентября 2018 пользователем Fedor

[ДОБРЯК 615]

44 минуты назад, Fedor сказал:

Вообще-то ее называют матрицей жесткости

Матрица жесткости [K], матрица масс [M]. 

5 часов назад, ДОБРЯК сказал:

Если матрицу масс [М] заменить на матрицу [С] (геометрическую матрицу) ...

 

[Fedor 1 630]

Можно и так смотреть , мелкий вопрос. У Галлагера все расписано насколько помню  :)

Изменено 24 сентября 2018 пользователем Fedor

[ДОБРЯК 615]

Информация о собственных колебаниях в параллельной ветке частично потеряна.

Обновил здесь.

Скрытый текст

2.1.3 Собственные колебания

 

Собственные колебания механической системы совершаются при отсутствии внешних сил. Полагая в "уравнениях движения" (2.1.1.18) правую часть  равной нулю, получим уравнения собственных колебаний [6]:

                             (2.1.3.1)

Решение уравнений (2.1.3.1) можно искать в виде гармоник с частотой колебания :

                                                                      (2.1.3.2)

Так как справедливы равенства:

то после подстановки  или  в уравнения (2.1.3.1) получим:

                         (2.1.3.3)

В уравнении (2.1.3.3) члены, зависящие от времени, опущены. Система уравнений (2.1.3.3) имеет фундаментальное значение в теории колебаний. Ее решение позволяет найти собственные частоты  и собственные формы колебаний  механической  системы, , где:  - число степеней свободы.

Общее решение системы уравнений (2.1.3.1) имеет вид:

(2.1.3.4)

Заметим, что в силу положительной определенности матриц  и  из (2.1.3.3) следует:

                              (2.1.3.5)

т.е. собственные частоты , () являются действительными (положи­тельными) числами, как и должно быть для консервативной системы. За исключением особых случаев, например, наличия определенной симметрии механической системы, все собственные частоты различны.

Покажем, что если

           (2.1.3.6)

то справедливы следующие формулы ортогональности собственных форм колеба­ний:

     (2.1.3.7)

Действительно, домножая векторные равенства

слева на  соответственно, получим:

       (2.1.3.8)

Так  как  матрицы  и  симметричные, то из (2.1.3.8) следует:

              (2.1.3.9)

Но  (см. (2.1.3.6)). Поэтому:  т.е. доказана справед­ливость второй формулы из (2.1.3.7). Отсюда с помощью (2.1.3.3) можно доказать справедливость первой формулы из (2.1.3.7). Для однозначного определения векторов собственных форм  необходимо ввести их нормировку. Введем сле­дующую нормировку собственных форм:

           (2.1.3.10)

В этом случае справедливы равенства:

         (2.1.3.11)

Таким образом, задача нахождения собственных колебаний механической системы свелась к задаче определения собственных частот и собственных форм для системы алгебраических уравнений (2.1.3.3):

                         (2.1.3.12)

Методы решения задачи (2.1.3.12) рассмотрены в главе 8.

 

[Fedor 1 630]

Зачем учебники копировать на форум, замусоривать ?  Можно же просто ссылку дать :)

[ДОБРЯК 615]

3 минуты назад, Fedor сказал:

Зачем учебники копировать на форум, замусоривать ?  Можно же просто ссылку дать :)

Нет ссылки. Уже объяснял.

 

[Fedor 1 630]

Учебники все есть в сети. Или похожие. Не смешите с утра :) 

[Борман 2 397]

 

1 час назад, ДОБРЯК сказал:

Таким образом, задача нахождения собственных колебаний механической системы свелась к задаче определения собственных частот и собственных форм для системы алгебраических уравнений (2.1.3.3):

Ничего у вас не свелось. Вы просто нашли собственные частоты и формы. Вам еще нужно найти "a" и "b" в выражении 2.1.3.4.

 

[ДОБРЯК 615]

9 минут назад, Fedor сказал:

Учебники все есть в сети. Или похожие. Не смешите с утра :) 

Не все учебники полезны для расчетчиков.

http://old.exponenta.ru/soft/Mathemat/pinega/main.asp

Но полезны для разработчиков. :)

 

[Борман 2 397]

PS. И правда, не смешите математиков. Это же элементарные вещи курса Линейной_Алгебры.. и многих других.

[ДОБРЯК 615]

1 минуту назад, Борман сказал:

PS. И правда, не смешите математиков. Это же элементарные вещи курса Линейной_Алгебры.. и многих других.

Так вы математик.  Теперь понятно почему вы пишите про одну нулевую собственную частоту незакрепленной конструкции в параллельной ветке. 

 

[Борман 2 397]

12 минуты назад, ДОБРЯК сказал:

Теперь понятно почему вы пишите про одну нулевую собственную частоту незакрепленной конструкции в параллельной ветке. 

Опять буквы начали путать ?

[ДОБРЯК 615]

13 минуты назад, Борман сказал:

Опять буквы начали путать ?

Эту информацию, про одну нулевую собственную частоту вы закрепили на самом видном месте в своем сообщении в параллельной ветке для начинающих. 

И нигде вы не поправили Соклакова, что нулевых частот шесть. Значит вы с ним согласны.

А иначе зачем такие глупости выносить на самое видное место. И это не единственная глупость. 

Изменено 26 сентября 2018 пользователем ДОБРЯК