Решение уравнений Навье-Стокса

[Grizz 1]

Доброе время суток,

Господа, у меня возник вопрос:

известно, что существуют определенные трудности в решении уравнений НС и неразрывности, которые заключаются в расчете поля давления. Наиболее распространенным методом является (или являлось) введение специально итерационной процедуры (т.е. SIMPLE, SIMPLER, и др.). Однако существует другой метод для решения искомых уравнения, т.н. "прямой", когда непосредственно определяются поля давления и скоростей в узловых точках (по-моему, во Fluent это называется coupled solver).

Вопрос в следующем: не попадались ли Вам какие-либо теоретические изыскания по этому поводу (описание алгоритма, дискретизации) в виде статей и других источников.

С уважением,

Grizz

[Combust 0]

Добрый день! Возможно, Вам поможет выдержка из обзора, хотя он и довольно старый.

Необходимо отметить важную особенность процесса дискретизации уравнений движения. Если компоненты скорости и давления в разностном методе расположены в одних и тех же узлах сетки, то может возникать шахматное разбиение поля давления [1]. Для борьбы с этим нежелательным явлением используется разнесенная (шахматная) сетка, полностью его исключающая. При использовании такой сетки компоненты скорости определяются в разнесенных относительно давления узлах так, что перепад давления между двумя узлами, в которых определено давление, входит в разностное уравнение для расположенной между ними скорости. В методе SIMPLE и его вариантах используется разнесенная сетка [1]. На основе метода SIMPLE разработан ряд алгоритмов. В [1] изложен метод SIMPLER, в котором для расчета поправки давления используется дополнительное уравнение, позволяющее улучшить согласованность изменений полей скорости и давления. В методе SIMPLEC [2,90] применяются согласованные релаксации для поправок импульса и давления. В SIMPLEST [91] в уравнениях импульса используется явная аппроксимация для конвективных членов и неявная для диффузионных. В [92] исследована общая схема коррекции давления и предложено два новых варианта метода. В [93] проведено сравнение различных усовершенствований SIMPLE и предложен алгоритм FIMOSE (полностью неявный метод для уравнений с расщеплением операторов). В [94] предложена процедура PISO, в основном аналогичная SIMPLER.

Хотя сетка с разнесенными для скорости и давления узлами избавляет от шахматного разбиения поля давления, она вносит некоторые неудобства, которые значительно усиливаются при переходе к областям с границей сложной формы и криволинейным неортогональным координатам. Использование специальных приемов при расчете градиента давления позволило разработать ряд методов на основе алгоритма SIMPLE для совмещенных сеток в криволинейных неортогональных координатах [95]. Предложены и другие расчетные схемы для совмещенных сеток [96]. В методе [97] разнесение вводится в разностные формулы, а не в структуру сетки – на совмещенной сетке разности вперед используются для аппроксимации массового расхода жидкости, а разности назад для градиента давления. Хотя новые расчетные методы на совмещенных сетках обладают рядом важных преимуществ, к сожалению, некоторые из них имеют и серьезный недостаток - получаемые с их помощью решения зависят от значений параметров нижней релаксации или шага по времени [98], что совершенно нежелательно.

Процедура решения систем линейных алгебраических уравнений (с переменными коэффициентами) играет важную роль в расчетном методе. Если узлы расположены вдоль линий сетки, то структура такой системы уравнений позволяет применять к ней особенно эффективные методы. Относительно простым и вполне эффективным является метод переменных направлений на основе TDMA (алгоритм для трехдиагональных матриц), в котором используется процедура прогонок вдоль сеточных линий. Этот метод используется в алгоритме SIMPLER [1]. В последнее время появляются и более прогрессивные подходы. Некоторые из них являются развитием существенно неявного метода Стоуна [99, 100, 101]. Эту процедуру можно также обобщить для блочного решения уравнений компонент скорости и давления. Однако тестирование такой процедуры [102] выявило, что она требует значительно больших затрат времени по сравнению с методом SIMPLER. Опубликован метод одновременного решения во всех узлах сетки уравнений импульса и неразрывности с помощью пакета программ для решения алгебраических уравнений с разреженными матрицами. Хотя этот метод оказался весьма привлекательным для задач с умеренным числом узлов, но на подробных сетках и в трехмерных задачах он требует чрезмерных затрат памяти и времени счета. Уравнения неразрывности и импульса можно решать совместно как последовательно в отдельных узлах [103], так и вдоль линий сетки [104]. Известен способ решения нелинейных уравнений импульса методом Ньютона-Рафсона [105]. Для течений с горением и большими изменениями плотности предложен метод расщепления операторов, учитывающий наличие сильного взаимовлияния уравнений неразрывности, движения, энергии и реакции горения [106].

1. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости // М.: Энергоатомиздат. –1984.-148с.

2. Patankar S.V. Recent Developments in Computational Heat Transfer // J. of Heat Transfer, N4, p. 1037, 1988.

90. Van-Doormaal J.P., Raithby G.D. Enhancements of the SIMPLE Method for Predicting Incompressible Fluid Flows // Numerical Heat Transfer, V 67, pp. 147-163, 1984.

91. Spalding D.B. Mathematical Modelling of Fluid Mechanics, Heat Transfer and Mass Transfer Processes // Imperial College, London, Mechanical Engineering Department, Report N HTS/80/1.

92. Connell S.D., Stow P. The Pressure Correction Method // Computers and Fluids, V 14, pp.1-10, 1986.

93. Latimer B.R., Pollard A. Comparison of Pressure-Velocity Coupling Solution Algorithms // Numerical Heat Transfer, V 8, pp. 635-652, 1985.

94. Issa R.I. Solution of the Implisitly Discretized Fluid Flow Equations by Operator-Splitting // J. of Computational Physics, V 62, pp. 40-65, 1985.

95. Rhie C.M., Chow W.L. A Numerical Study of the Turbulent Flow Past an Isolated Airfoil with Trailing Edge Separation // AIAA Paper 82-0998, 1982.

96. Shih T.M., Ren A.L. Primitive-Variable Formulations Using Nonstaggered Grids // Numerical Heat Transfer, V 7, pp. 413-428, 1984.

97. Reggio M., Camarero R. Numerical Solution Procedure for Viscos Incompressible Flows // Numerical Heat Transfer, V 10, pp. 131-146, 1986.

98. Majumdar S. Role of Underrelaxation in Momentum Interpolation for Calculation of Flow with Nonstaggered Grids // Numerical Heat Transfer, V 13, pp. 125-132, 1988.

99. Stone H.L. Iterative Solution of Implicit Approximation of Multidimensional Partial Differential Equations // SIAM J. of Numerical Analysis, V 5, pp. 530-558, 1968.

100. Lin A. The Parameterized Strongly Implicit Mrthod for Solving Elliptic Difference Equations // Int. J. for Numerical Methods in Fluids, V 5, pp. 381-391, 1985.

101. Schneider G.E., Zedan M. A Modified Strongly Implicit Procedure for the Numerical Solution of Field Problems // Numerical Heat Transfer, V 4, pp. 1-19, 1981.

102. Schneider G.E., Zedan M. A Coupled Strongly Implicit Procedure for Velocity and Pressure Computation in Fluid Flow Problems // Numerical Heat Transfer, V 8, pp. 537-557, 1985.

103. Vanka S.P. Block-Implicit Multigrid Solution of Navier-Stokes Equations in Primitive Variables // J. Computational Physics, V 65, pp.138-158, 1986.

104. Galpin P.F., Van Doormaal J.P., Raithby G.D. Solution of the Incompressible Mass and Momentum Equatuins by Application of a Coupled Equation Line Solver // Int. J. for Numerical Methods in Fluids, V 5, pp. 615-625, 1985.

105. Galpin P.F., Raithby G.D. Treatmen of Nonlinearities in the Numerical Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equations // Int. J. for Numerical Methods in Fluids, V 6, pp. 409-426, 1983

106. Issa R.I. Solution of the Implicitly Discretised Reacting Flow Equations by Operator-Splitting // J. Computational Physics, V 93, pp.338-410, 1991.

[Grizz 1]

Спасибо за быстрый и обстоятельный ответ,

буду искать статьи...