Хитрые задачки МКЭ и МДТТ. Вопросы/обсуждения..

[LazyBitch 275]

1 час назад, Jesse сказал:

суть

Третий раз встречаю этот архаизм в ваших сообщениях последних дней. Вы новое слово пытаетесь запомнить или бравируете знанием старорусского?

[LazyBitch 275]

1 час назад, Jesse сказал:

Сингулярнось в МКЭ - отсутствие сеточной сходимости. 

В математическом понимании сингулярность - это точка, в которой функция или уравнение стремится к бесконечности. Или же возможны ситуации, при которых функция отличается иными непостоянности поведения. В МКЭ сингулярность может проявляться где угодно, вон у известного преподавателя из MIT Константина Юрьевича Бате даже про какие-то сингулярные якобианы написано.

Скрытый текст

 

Edited February 5 by LazyBitch

[Chardash 300]

37 минут назад, LazyBitch сказал:

В математическом понимании сингулярность - это точка, в которой функция или уравнение стремится к бесконечности

И сингулярность связана с собственными значениями и тензором напряжения. А полнота не связана напрямую с тензором напряжений, а связана с понятием базиса и выбором базисных функций, которые должны образовать полный набор в пространстве функций, те должны быть линейно независимы и формировать базис пространства функций. Насколько это понимаю я.

http://www.ibrae.ac.ru/docs/Kafedra/Lecture_notes_on_the_mechanics_of_solids_and_FEM_Filippov_A_2019.pdf

Edited February 5 by Chardash

[Jesse 867]

5 часов назад, Jesse сказал:

Господа

Ах да, чуть не забыл. " и дамы"..))

4 часа назад, LazyBitch сказал:

Третий раз встречаю этот архаизм в ваших сообщениях последних дней. Вы новое слово пытаетесь запомнить или бравируете знанием старорусского?

Это в вашем ошибочном понимании слово "суть" является архаизмом..))

3 часа назад, Chardash сказал:

А полнота не связана напрямую с тензором напряжений, а связана с понятием базиса и выбором базисных функций, которые должны образовать полный набор в пространстве функций, те должны быть линейно независимы и формировать базис пространства функций.

Во во. Вы чё то нащупали в нужном направлении. 

Мы считаем мкэ в методе перемещений, то есть базисные функции суть функции формы перемещений. И их суперпозиция должна давать искомую функцию. И когда в модели есть сингулярность, то как минимум одна из базисных функций в узле должна давать расходимость. Может такое быть или нет?

[Chardash 300]

1 час назад, Jesse сказал:

И когда в модели есть сингулярность, то как минимум одна из базисных функций в узле должна давать расходимость. Может такое быть или нет?

Для тензора нетривиальное решение линейной однородной системы уравнений существует только тогда, когда определитель системы уравнений обращается в ноль. Когда в ноль не обращается, возникает сингулярность, тензор напряжений не может быть определен исходя из его собственных значений, так как они не являются уникальными. https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/68501/1/978-5-7996-2541-2_2019.pdf

 

[Борман 2,301]

8 часов назад, Jesse сказал:

То есть по определению получается, что условие полноты выполняется, так:? Хоть и получаем в данном случае расходимость и беск напряжения...

Есть же теорема, что при измельчении сетки КЭ-решение сходится к решению теории упругости. То что вы называете сингулярностью - это точное решение задачи, к нему вы и сходитесь.

[Jesse 867]

11 минут назад, Борман сказал:

Есть же теорема, что при измельчении сетки КЭ-решение сходится к решению теории упругости. То что вы называете сингулярностью - это точное решение задачи, к нему вы и сходитесь.

Это хорошо (теорему в студию кстати). Ну а с полнотой как быть? 

[Борман 2,301]

11 минут назад, Jesse сказал:

Ну а с полнотой как быть? 

Соответственно при измельчении набор функций форм стремится в полной системе.

[Jesse 867]

11 часов назад, Борман сказал:

Соответственно при измельчении набор функций форм стремится в полной системе.

хокей. А в этой полной системе среди функций форм будет хотя бы одна сингулярная, т.е. которая даёт бесконечность? 

Edited February 6 by Jesse

[ДОБРЯК 543]

Функции формы не зависят от размера конечного элемента. И тем более полнота. )

[Jesse 867]

2 минуты назад, ДОБРЯК сказал:

Функции формы не зависят от размера конечного элемента. И тем более полнота. )

соглашусь с господзином Добряком

[ДОБРЯК 543]

Вы же сами пишете, что метод перемещений. И никакой сингулярности в перемещениях нет. Да и в деформациях не будет сингулярности. Обсуждали уже этот вопрос. ;=)

[Jesse 867]

4 минуты назад, ДОБРЯК сказал:

Вы же сами пишете, что метод перемещений. И никакой сингулярности в перемещениях нет. Да и в деформациях не будет сингулярности.

да, но в напряжениях же будет..

 

чтобы сильно не отклоняться от темы, напомню ключевой вопрос: есть условие полноты в МКЭ. Есть такая штука как сингулярность. 

Уважаемые знатоки, внимание, вопрос: является ли сингулярность напряжений следствием (или причиной) нарушения условия полноты? Связаны ли эти две штуки?

Edited February 6 by Jesse

[Chardash 300]

Мой вариант: полнота связана  набором базисных функций и они должны быть линейно независимы. Сингулярность с тензором напряжения, когда его определитель ненулевой и собственные значения (скаляры, которые перемножают собственные векторы, чтобы получить исходный вектор) не являются уникальными. Сингулярность напряжений не обязательно означает, что условие полноты не выполняется и относится к возникновению бесконечных или очень больших напряжений в определенных точках конструкции, независимо от того, выполняется условие полноты или нет. Условие полноты требует, чтобы конечно-элементное решение представляло собой точное решение анализируемой задачи, но оно не гарантирует, что напряжения не будут сингулярными. Те в некоторых случаях конечно-элементное решение может удовлетворять условию полноты, даже если напряжения сингулярны.

Edited February 6 by Chardash

[Fedor 1,519]

Цитата

Короче, мой вопрос: связано ли как-то условие полноты с сингулярностью напряжений?

Нет. Полнота базисных функций, это когда наибольшая степень интерполирующих функций и все низшие степени содержатся.  Например  { 1,x,  x**2, x**3 . ..  } полная относительно x , а вот  { 1,x,   x**3 . ..  }  уже не полная, параболы не сможем интерполировать . Так и для множеств с несколькими неизвестными.  Обычно говорят о пирамиде Паскаля... 

Их можно строить преобразуя   один  полный набор функций  в другой   http://www.pinega3.narod.ru/mec.htm  :)

Среди производных от полиномов  нет функций приводящих к особенностям типа 1/x  то есть сингулярностям . Но в принципе можно к исходному набору добавить такие функции и потом уже этот набор преобразовать в базисные функции. Или вообще строить базисные функции из каких - нибудь других функций, а не полиномов. Получаются такие , что будут равны нулю в узлах кроме одного. Но не слышал что кто-нибудь так делал. Хотя можно. Я строил такие наборы лет 15-20 назад :)  

[Борман 2,301]

52 минуты назад, Jesse сказал:

хокей. А в этой полной системе среди функций форм будет хотя бы одна сингулярная, т.е. которая даёт бесконечность? 

Смотря как будете строить эти фф. Тут либо будут расти коэффициенты при конечных фф, либо вы придумаете сингулярные фф - тогда будут конечные коэффициенты.

[Jesse 867]

в общем, мнение большинства начали сходиться к общему знаменателю..
Выводы сделаны. Всем спасибо)

[Fedor 1,519]

Хотя сингулярности могут возникать в изопараметрических элементах из-за якобиана.

http://www.pinega3.narod.ru/intc.htm

 

В какой-то книжке по механике разрушения даже предлагалось это использовать для моделирования сингулярного поведения напряжений в вершине трещины.  Смещая узлы в центре сторон к углу.  

[Orchestra2603 174]

@Jesse

Я свою 5 копеек тоже вставлю тут))...

Вспомните решение Уильямся для плоской задачи с треугольным вырезом. Там частное решение для перемещений получается пропорционально r^(lambda_n), а для компонентов напряжений r^(lambda_n -1). Общее решение получается как бесконечная сумма слагаемых, и у каждого из которых свой lambda_n (собственное значение). Для плоской задачи первые две лямбды получаются меньше 1 для любого угла меньше 180 градусов (в предельном случае с углом в 0 градусов получаем значение 1/2 - известное решение из линейной упругой механики разрушения). Отсюда и особенность в угле. В трехмерных задачах тоже похожие штуки. Так что сингулярность - это никакой не артефакт, а самое настоящее физичное решение задачи теории упругости с такими ГУ и геометрией.

 

Дальше, как правильно выше заметил Федор, слагаемое типа 1/(x^n) линейно-независимо относительно любых других x^n. Т.е. сколько бы вы не добавляли степенных функций формы в ваш набор, в классическом случае вы никак не можете приблизиться к такому решению. Получается, что ни о какой полноте речи быть и не может в данном случае. На самом деле, когда говорят, что система функций полная, то всегда уточняется в каком пространстве. Если на пальцах, то, например два вектора 1*i + 2*j и 1*i - 1*j имеют свойства полноты в двухмерном векторном пространстве, но не в трехмерном. Так вот, если брать все пространство L2, то никакой конечный набор функций не может быть в нем полным. Но если мы возьмем какой-то более "ограниченный" подкласс функций, например, трижды дифференцируемые, и у которых все высшие производные, начиная с 4-й, равны нулю, то в таком пространстве и {1, x, x^2, x^3} и набор из первых четырех полиновом Эрмита, например, будет полным. Так вот, в классическом МКЭ мы этот подкласс изначально обрезаем так, чтобы в нем не было никаких особенностей. А в задаче, например, с углом оказывается, что решение то выходит за рамки это подкласса.

 

Еще есть такая штука XFEM (eXtended FEM), так там как раз в набор функций формы добавляется еще одна типа 1/sqrt(r), связанная с дополнительной степенью свободы, которя связана с раскрытием трeщены. Но это все заточено естественно только на трещины, т.е. на один только вид сингулярностей с lambda = 1/2. 

Edited February 8 by Orchestra2603

[Jesse 867]

18 минут назад, Orchestra2603 сказал:

Так что сингулярность - это никакой не артефакт, а самое настоящее физичное решение задачи теории упругости с такими ГУ и геометрией.

отлично! но вы давайте это.. с картинками. А это все эти ваши лямбда плохо перевариваются непосвящёнными в задачу..)

 

19 минут назад, Orchestra2603 сказал:

Но если мы возьмем какой-то более "ограниченный" подкласс функций, например, трижды дифференцируемые, и у которых все высшие производные, начиная с 4-й, равны нулю, то в таком пространстве и {1, x, x^2, x^3} и набор из первых четырех полиновом Эрмита, например, будет полным. Так вот, в классическом МКЭ мы этот подкласс изначально обрезаем так, чтобы в нем не было никаких особенностей. А в задаче, например, с углом оказывается, что решение то выходит за рамки это подкласса.

короче, всё зависит от конкретной реализации базисных функций конкретного кода в конкретном МКЭ пакете.. понятно))