Хитрые математические и физические задачки.

[soklakov 1 475]

1 минуту назад, Борман сказал:

По закону сохр. энергии в сумме они должны дать 100гр., так что если одна больше 50гр. то другая меньше.

Пардон, поторопился, мой косяк. В моей задачке у тел было 50 и 100 на старте, а тут 0 и 100.

[Борман 2 375]

Решил. Хорошая разминка для ума утром в воскресенье.

@Fedor, давайте-ка порешайте дифуру.

[Fedor 1 597]

Утром в воскресенье хороша чашечка кофе... :) 

[Fedor 1 597]

Вот тут удалось получить все возможные решения для балки с 1-2 опорами по концам при различных нагружениях. 

 

Так можно получать решения Эйлера для задач устойчивости при шарнирах на концах и при размещении шарниров на одинаковых отрезках. 

У Биргера в сопромате есть замечание что для разных случаев закреплений можно использовать и линейный дифференциальный оператор 4 порядка для задач устойчивости. 

Интересно как это реализовать ?  И при добавлении  горизонтальной произвольной нагрузки... 

 

 

[Fedor 1 597]

У Биргера в СМ на стр 203 написано "В форме (254) уравнение изгиба используется в задачах колебания и устойчивости и других задачах, где требуется более полный анализ. Уравнение изгиба в основной форме является разрешающим, то есть позволяет по заданной функции q(z)  найти основные параметры задачи без предварительного определения изгибающего момента в сечении" 

[Fedor 1 597]

 

В теории колебаний показано, что это уравнение с такими краевыми условиями имеет и нетривиальное решение ...  

https://biblio.mccme.ru/node/4351/shop  у меня правда 4 издание. Стр 104 о балке с шарнирами по концам... 

Изменено 16 февраля 2023 пользователем Fedor

[Jesse 958]

1 час назад, Fedor сказал:

 

В теории колебаний показано, что это уравнение с такими краевыми условиями имеет и нетривиальное решение ...  

https://biblio.mccme.ru/node/4351/shop  у меня правда 4 издание. Стр 104 о балке с шарнирами по концам... 

да. я тоже обратил внимание, что Вольфрам не показывает особые решения типа огибащих и прочее. 
Вопрос - как быть?

[Orchestra2603 224]

54 minutes ago, Jesse said:

да. я тоже обратил внимание, что Вольфрам не показывает особые решения типа огибащих и прочее. 
Вопрос - как быть?

Я никогда не работал в Вольфраме, но я думаю, что где-то внутри на стадии подстановки ГУ в систему уравнений для определения коэффициентов C1, C2, C3, C4 (которые перед соответствующими частными решениями) солвер не хочет искать особые значения k, когда матрица системы вырожденная. Видимо, он видит, что в правой части нули, значит все коэффициенты - тоже нули. Может такое быть? 

[Jesse 958]

25 минут назад, Orchestra2603 сказал:

Я никогда не работал в Вольфраме, но я думаю, что где-то внутри на стадии подстановки ГУ в систему уравнений для определения коэффициентов C1, C2, C3, C4 (которые перед соответствующими частными решениями) солвер не хочет искать особые значения k, когда матрица системы вырожденная. Видимо, он видит, что в правой части нули, значит все коэффициенты - тоже нули. Может такое быть? 

систему ОДУ - отдельная история. Но то что вы пишите в принципе может быть, т.к. это сингулярное решение по идее.

Если рассмотреть более простой случай с одним уравнение, то под особым решением подразумевают два случая: нарушение существ-я и единств-сти, и сингулярное решение.
Вот в этой статье неплохо расписано
https://en.wikipedia.org/wiki/Singular_solution
Там же есть 2 примера простеньких.

Сингулярное решение находит, а вот "неединственное" решение НЕ находит.
То есть у меня получается обратная ситуация к фёдоровской: он получил тривиальное решение и не получил аналитического, а я получил аналитическое и не получил тривиальное (сингулярное).

[Fedor 1 597]

   Иногда находит и нетривиальные ... 

Изменено 16 февраля 2023 пользователем Fedor

[Fedor 1 597]

Интересно попробовать сразу решать  уравнение заменив q  на массу умноженную на ускорение .  

Будет ли оно гиперболическим если производная по перемещению 4 степени, а по времени 2 степени ?  

http://www.detalmach.ru/lectdinamika6.htm   вот тут есть о этом уравнении ... 

[статист 608]

3 часа назад, Jesse сказал:

То есть у меня получается обратная ситуация к фёдоровской: он получил тривиальное решение и не получил аналитического, а я получил аналитическое и не получил тривиальное (сингулярное).

Надо сингулярность включить

[статист 608]

7 часов назад, Fedor сказал:

 

Видно математика не понимает таких производных

[Fedor 1 597]

Функция y2 не правильно определена ... 

У меня со 2 производной то все сработало. 

Изменено 16 февраля 2023 пользователем Fedor

[Orchestra2603 224]

7 hours ago, Jesse said:

систему ОДУ

не, я не про системы ОДУ. Я не уверен, что именно там внутри у Вольфрама происходит, когда он символьно вычисляет решение. Но в целом, у нас же линейное ДУ с постоянными коэффициентами. Общее решение однородного уравнения заранее известно - линейная комбинация из экспонент (если не уходить в случаи с кратными корнями). Они могут быть действительными, а могут быть комплесными и попарно споряженными. Можно из этих экспонент собрать какие-то другие линейные комбинации, и получатся какие-то другие функции - тоже частные решения ОДУ, иногда это удобно - получится такое же общее решение. Так или иначе, общая форма решения у нас уже есть априори, ее даже искать не надо. Надо только из общего решения подобрать коэффициенты С1, С2, С3, С4 перед этим экспонентами/функциями, чтобы удовлетворялись ГУ.

 

Дальше, когда вы подставляете ГУ, то получается обычная самая система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Но есть нюанс. Внутри матрицы этой системы есть параметр k, который нам на данный момент не известен. А правая часть СЛАУ нулевая. Так вот, нам как раз интересен случай когда матрица этой СЛАУ становится вырожденной при каких-то значениях k, потому что только тогда при нулевой правой части возможны ненулевые значения C1,C2,...,C4 и соответственно нетривиальное решение ОДУ. Это в принипе такая тоже своеобразная задача на собственные значения, как это делается в задаче на собственные значения линейного оператора. И вот у меня подозрение, что Математика вообще не загоняется поиском этих собственных значений, а просто говорит "нулевая правя часть - тривиальное решение, до свидания!". 

[статист 608]

 

Да, точно. Математикой давно не пользовался. Но вот если убрать краевые условия с производными и посчитать, то он чего-то даже выдает. А вот дальше если взять производные и попытаться найти свободные члены, то у него затык, и он выдает все по нулям

Если в лоб решить, то тоже выдает все красиво. А потом когда ищешь решение системы уравнений по поиску коэффициентов, то все в топку.

 

Изменено 16 февраля 2023 пользователем статист

[Jesse 958]

@Orchestra2603 всё это очень интересно. Поищу в Хэлпе Вольфрама. У него очень хороший хэлп, но в описании команд редко идёт характ-ка работы относительно ядра. Просто как команды работают. И примеры. Много примеров) в этом самый плюс.

1 час назад, статист сказал:

Но вот если убрать краевые условия с производными и посчитать, то он чего-то даже выдает. А вот дальше если взять производные и попытаться найти свободные члены, то у него затык, и он выдает все по нулям

да, тоже замечал такое...

[Fedor 1 597]

Так и в теории пишут, что необходимо равенство нулю определителя чтобы 2 коэффициента не равнялись нулю. То есть надо решить то что называют частотным уравнением. Надо попробовать с параметрами сингулярности понастраивать решение...   

[Fedor 1 597]

Цитата

Видно математика не понимает таких производных

   Вроде нормально понимает 

Изменено 17 февраля 2023 пользователем Fedor

[Jesse 958]

А вы знали, что касательная к графику xy=a² образует с осями координат треугольник постоянной площади? Докажите..