Ортогональность форм колебаний балки при упругой заделке-опоре

[Orchestra2603 250]

Всем привет!

 

Столкнулся с таким вот наблюдением. Пишу я тут в своем внутреннем документике про анализ вибрации, собственные частоты, метод главных координат, все такое, и вот застрял с условиями ортогональности...

 

Вот задача...

 

 

 

Есть такая вот вертикально стоящая непризматическая консольная балка, и кусок ее внизу погружен в упругий грунт. Есть определенная приближенная модель, по которой весь этот подземный кусок заменяется эквивалентным упругим элементом. Типа как упругаяя опора или заделка, но не совсем. Поперечная нагрузка вызывает не только пропорцональное силе поперечное перемещение, но еще и какой-то пропорциональный поворот сечения. И момент также вызывает еще и поперечное смешение кроме поворота.  Т.е. получается   , где Ks какая-то симметричная но необязательно диагональная матрица. Все ее элемнеты положительны. Знак перед изгибающем момент в концевом сечении взят с минусом, потому что положительное смещение (совпадает с направлением нагрузки) вызывает положительную перерезывающую силу (с левого коннца по направлению вверх против внешней нагрузки и против полодительного перемещения). При этом положительный поворот получается по часовой стрелке, а такой поворот дает отрицательный изгибающий момент  (с левого конца действует против часовой стрелки создавая отрицательную кривизну).

 

Уравнение для n-й формы колебаний:

 

Действуем как в учебнике... Умножаем на m-ю форму (m не равно n) Xm и инегрируем по всей длине балки:

 

Второй интеграл интегрируем по частям 2 раза и получаем:

Учитвая, что для x=0 для перерезывающей силы и изгибающего момента (модальных, т.е. состалвяющая только от n-й формы): 

 

   и то что Q = 0 и M=0 для верхнего конца, получается, что "концевые" слагаемые преобразются в  (здесь использовано условие "упругой заделки-опоры" в сечение x=0)

 

В итоге получаем такое:  

Если мы начнем теперь с уравненя для m-й формы и умножим на Xn, а потом проингтегрируем, то в итоге получим:

 

 

Теперь вспомним, что Ks симметричная, и что тогда можно сделать так: 

и после этого вычтем уравнение для m-й формы из ур-ия для n-й формы. Потом учтем что omega_m^2 - omega_n^2 не может быть нулем, и тогда получаем:

 

 1-е классическое условие ортогональности. Но тогда автоматичеки получается 2.е условие:

И вот тут всплывае доп слагаемое с жесткостью грунта и перемещениями и поворотами в точке заделки. Такого я еще нигде не встречал. Везде в книжках пишут, что мол, обычные условия ортогнальности выполняются как обычно, например. для оьбычных упругих заделок и опор. (т.е. здесь так будет если Ks - диагональная). Но никто не показывает выкладки! Я просмотрел и книжки по матфизике,и по теории колебаний.

 

Меня очень смущает такой вот результат с этими странным слагаемым. Ведь из таких условий ортогональности следует, что и частоту надо считать тогда не как обычно, а вот так:

 

, и это очень странно.

 

 

Есть ли где-то у меня ошибка? Пока никак не могу найти... Может, я что-то вообще неверное делаю. У кого какие мысли есть? Спасибо всем заранее.

Edited December 19, 2024 by Orchestra2603

[Борман 2,401]

6 часов назад, Orchestra2603 сказал:

У кого какие мысли есть?

Только нечеткие мысли...

Вот это  - это работа внутренних моментов в балке из первой формы на поворотах второй формы, но в нашей системе появляется пружина на конце, и к ней нужно применить ту же самую логику. Так вот это слагаемое отражает работу момента (и не только) из первой формы на перемещениях второй формы.

 

Я вроде посмотрел с утра...  в мелочах вроде все правильно. По крупному - хз.

[AlexArt 282]

Рассмотреть частный случай, провести численный эксперимент. Да, я тупой.