Linear dynamic vs Nonlinear dynamic. LTI systems.

[Jesse 957]

Раз уж тема динамики в тренде, задам и я вопрос, который давно терзает мне душу..

К примеру, нужно посчитать ударное воздействие. Как мы действуем в МКЭ? Если конструкция линейная - нет контактов, линейный материал, нет больших перемещений (геометрической нелинейности) - то смело считаем в линейной динамике на основе собственных (постоянных!) частот.
НО!! Если воздействие, как говорят, весьма высокочастотное, или его скорость сравнима с распространением упругих волн в материале, то рекомендуется использовать нелинейную динамику (причём явный решатель, но не в этом вопрос). Я даже ссылки приводить не буду, наверняка многие расчётчики сталкивались с такой рекомендацией.
Но почему?? Почему даже если система линейная, то нужен нелинейный решатель???

Решил для начала немного копнуть в теории..
Вот статья (и её русскоязычный эквивалент).
https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_time-invariant_system
https://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_линейных_стационарных_систем
Там, в общем-то, тоже идёт разделение на линейность (linearity) и стационарность (time-invariance).
Причём под стационарностью в этих и смежных статейках подразумевается постоянство передаточной функции, то бишь характеристик системы (частот). А под линейностью имеют в виду просто тот факт, что у нас линейный диффур и можно пользоваться принципом суперпозиции..

Решил также поделать тесты на простых модельках.
Такая вот шарнирно-опёртая балочка со скользящей правой заделкой (неупрочняющаяся система).

Материалы и воздействие задал такими, чтоб волна не успела "добежать" и отразиться.. короче, чтоб можно было сравнить решения в нелинейной и линейной динамике по максимальному перемещ/ускорению без демпфирвоания.
Для начала хотел убедиться в квазистатическом характере линейной динамики. ЧТо это означает? Что мы по сути численно решаем параболический диффур, где решение "ощущается" везде и сразу (хоть и разное по величине в разных местах); в отличие от гиперболического диффура, где реакция ограничена скоростью воздействия.
Сравниваю решения в один и тот же момент времени ~0.0012 c

Cлева - линейщина. Справа - нелинейщина. Видно к этому моменту времени воздействие ещё не успело дойти до заделки (10^-30 просто погрешность видимо), хотя макс прогиб ~ одинаковые.
 

Вывожу графики макс. ускорения в центре (как более характерного и показательного в отличие от перемещ).

видно, что в нелинейке макс. ускорение более чем в 2 раза больше! Так в чём же природа этой нестационарности? Получается, что собственные частоты каким-то образом меняются при быстром воздействии... но почему? Ведь линейность!

[soklakov 1 475]

6 часов назад, Jesse сказал:

но хотелось бы выявить механизм как именно метод суперпозиции форм даёт сбой.

на правах фантазии: распространения волны же нет. форма - это волна сразу по всей констуркции, а не бегущая из угла в угол.

[Jesse 957]

18 часов назад, soklakov сказал:

распространения волны же нет

распр-е волны есть всегда.. просто в квазистатике у нас другой подход (собств. част.). Как вы сказали, мы утрированно считаем что система отреагировала на воздействие "везде и сразу".
Но если вы ознакомились со статьями по ссылкам что я приводил, то увидели б что при быстром воздействии подход на основе собственных частот все ещё верен, просто надо учесть их изменение (time-variance system). Вот как понять где эта граница, когда надо учесть их изменение? Допустим, в примере выше скорость воздействия условно 0,15*с (с - скорость звука, считаем что на концах энергия полностью поглощается). В этом случае вы какой подход правильней исп-ть?

[ДОБРЯК 602]

2 часа назад, Jesse сказал:

Но если вы ознакомились со статьями по ссылкам что я приводил, то увидели б что при быстром воздействии подход на основе собственных частот все ещё верен, просто надо учесть их изменение (time-variance system). Вот как понять где эта граница, когда надо учесть их изменение?

Собственные частоты не меняются в линейной системе. Но при быстром воздействии нужно определить очень большое количество собственных частот. Собственные частоты - это переход в другие координаты.

Поэтому при быстром воздействии в линейной задаче в метод Ньюмарка подают) полные матрицы масс и жесткости. 

[soklakov 1 475]

6 часов назад, Jesse сказал:

Вот как понять где эта граница, когда надо учесть их изменение?

примерно там же, где граница маленьких и больших перемещений

6 часов назад, Jesse сказал:

при быстром воздействии

внезапно появилая скорость воздействия. а было так:

29.05.2021 в 17:02, Jesse сказал:

почему для быстропротекающих прцоессов первый способ даст сбой (неправильный результат), несмотря на линейность задачи?

и мой ответ в том, что под быстро протекающими процессами  в этом контексте имеется в виду исследование поведения волны внутри объекта, чего не дает суперпозиция форм.

 

в общем, задайте правильно вопрос и в нем будет половина ответа.

7 часов назад, Jesse сказал:

Но если вы ознакомились со статьями по ссылкам что я приводил,

это ж надо сначала заинтриговаться

[Jesse 957]

1 час назад, soklakov сказал:

внезапно появилая скорость воздействия. а было так:

Воздействие было всегда. ) Без быстрой скорости воздействия не быть быстропротекающему процессу

 

1 час назад, soklakov сказал:

общем, задайте правильно вопрос и в нем будет половина ответа

Да, сам уже ощущаю нехватку правильного вопроса)

 

1 час назад, soklakov сказал:

это ж надо сначала заинтриговаться

Попробуйте вместе с @ДОБРЯК

[soklakov 1 475]

32 минуты назад, Jesse сказал:

Без быстрой скорости воздействия не быть быстропротекающему процессу

при любой скорости воздействия волна внутри тела будет распространяться со скоростью звука.

34 минуты назад, Jesse сказал:

Попробуйте

что попробовать?

[Jesse 957]

1 час назад, soklakov сказал:

при любой скорости воздействия волна внутри тела будет распространяться со скоростью звука

Ой, опять пошли "игры слов". Все понятно)

Под быстропротекающими процессами везде одно только имеют в виду - когда воздействие быстрое

Изменено 2 июня 2021 пользователем Jesse

[soklakov 1 475]

1 час назад, Jesse сказал:

Все понятно)

хорошо, если так.

но не похоже

[ДОБРЯК 602]

10 часов назад, Jesse сказал:

Попробуйте вместе с @ДОБРЯК

@Jesse это вы в этой теме играете словами. То говорите что решаете линейную задачу. То задача становится нелинейной. То опять линейной. И так и бегаете по этому кругу.

У вас в программе есть кнопочка линейная динамика, есть кнопочка нелинейная динамика. Вам больше нравится нажимать кнопочку нелинейная динамика. Вы считаете, что чтобы правильно посчитать скорость распространения волны нужно учитывать нелинейность.

Сделайте тесты для одномассовой системы. Сравните аналитику и численное решение. Подберите шаг по времени для метода Ньюмарка.

Вы не понимаете что ваша программа делает когда вы нажимаете кнопочку линейная динамика. И тем более не понимаете что ваша программа делает когда вы нажимаете кнопочку нелинейная динамика.

Поэтому и идет игра словами. 

 

[Jesse 957]

3 часа назад, ДОБРЯК сказал:

о задача становится нелинейной

ну хорошо. С нелинейщиной я погорячился. Решать методом Ньюмарка (не на основе собств частот.) без нелинейщины. Просто осталось предубеждение, что только активацией учёта нелинейности можно учесть изменение собственных частот, а, значит, и явление распространения волны (исходя из сказанного в статейках). Но последнее - линейная задача в простом случае. Так что...

 

3 часа назад, ДОБРЯК сказал:

Вы не понимаете что ваша программа делает когда вы нажимаете кнопочку линейная динамика. И тем более не понимаете что ваша программа делает когда вы нажимаете кнопочку нелинейная динамика.

зато тем, как вы всё понимаете, форум любуется уже который год

20 часов назад, ДОБРЯК сказал:

Собственные частоты не меняются в линейной системе. Но при быстром воздействии нужно определить очень большое количество собственных частот. Собственные частоты - это переход в другие координаты.

исходя из сказанного Вами, я могу задействовать в линейной динамике максимально возможное количество частот, равное количеству степеней свободы (которое зависит от плотности сетки), и на этой же сетке методом Ньюмарка получить то же самое решение...

[ДОБРЯК 602]

34 минуты назад, Jesse сказал:

зато тем, как вы всё понимаете, форум любуется уже который год

@Jesse Я не хотел вас обидеть. Но одно и то же писать по 20 раз в одной и той же теме или в разных темах смысла нет. 

39 минут назад, Jesse сказал:

Решать методом Ньюмарка (не на основе собств частот.)

В методе Ньюмарка нет никаких собственных частот. Посмотрите теорию метода Ньюмарка. Но это не единственный метод. 

[ДОБРЯК 602]

44 минуты назад, Jesse сказал:

исходя из сказанного Вами, я могу задействовать в линейной динамике максимально возможное количество частот, равное количеству степеней свободы (которое зависит от плотности сетки), и на этой же сетке методом Ньюмарка получить то же самое решение...

В линейной динамике можно переходить в координаты собственных частот, а можно не переходить и решать задачу с полными матрицами.

В некоторых задачах удобно перейти в координаты собственных частот. Существенно уменьшить размерность задачи и получить то же решение что и с полными матрицами. 

В любой задаче нужно определить собственные частоты которые больше чем возбуждающая частота. Чтобы получить правильное решение.

В нелинейной динамике ваша программа решает с полными матрицами. Но то же самое можно делать и в линейной динамике.

 

 

Если определить все собственные частоты, то решение будет такое же что и с полными матрицами.

Но время решения для реальных конструкций будет на порядки больше. Даже для задач небольшой размерности. Например для 20 000 степеней своболы.

[Jesse 957]

1 час назад, ДОБРЯК сказал:

Если определить все собственные частоты, то решение будет такое же что и с полными матрицами.

 в моей балочке 80 узлов, соотв-но 480 ст. своб. Решал на основе 600 СЧ. Результаты отличаются от тех что в нелин. дин.

[статист 608]

29 минут назад, Jesse сказал:

 в моей балочке 80 узлов, соотв-но 480 ст. своб. Решал на основе 600 СЧ. Результаты отличаются от тех что в нелин. дин.

А как на основе 80 узлов получить 600 собственных частот? Разве количество извлекаемых собственных частот не зависит от количества степеней свободы?

[Jesse 957]

58 минут назад, статист сказал:

А как на основе 80 узлов получить 600 собственных часто

никак) исп-ся по любасу не больще 6*80=480 СЧ)
В программе прост забил с запасом большое кол-во)

1 час назад, статист сказал:

азве количество извлекаемых собственных частот не зависит от количества степеней свободы?

зависит

[ДОБРЯК 602]

2 часа назад, статист сказал:

А как на основе 80 узлов получить 600 собственных частот? Разве количество извлекаемых собственных частот не зависит от количества степеней свободы?

Да никак. КЭ модели никто не видел. Проверить ничего нельзя.

Никаких объяснений в этой теме ТС не понимает.

Пусть решает в нелинейной динамике. Есть кнопочка в программе нелинейная динамика. Пусть и нажимает ее.

ТС задал 600  собственных частот а сколько определилось частот и векторов он сказать не может. 

 

@Jesse задает вопрос и сам на него отвечает. Он не слышит ответов.

Доказывает сам себе что в его 3Д программе есть глубокая нелинейная динамика..

[Jesse 957]

во многих источниках упоминается вейвлет преобразование, или другие в частотно-временной плоскости для решения высоконестационарных/"высокочастотных" задач, акустики, ударных волн и т.п. Фурье обычный не подойдёт, ибо разрешение по времени никакое на высоких гармониках. Аля п-п неопределённости.

То бишь несмотря на линейность системы, её характеристики могут меняться (linear time-variant system). Аналитически и в программах компьюетрной алгебры учесть это изменение можно, например, вейвлет преобразованием. Есть ли что-то подобное в МКЭ в контексте линейной динамики - вряд ли

Изменено 23 июня 2021 пользователем Jesse