Jesse

Хитрые математические и физические задачки.

1,029 posts in this topic
Pinned posts

Чтобы все могли отвлечься от своих обычных рутинных обязанностей в плане решения инженерных прикладных задач, решил создать тему, в которую все могли бы кидать интересные задачки по математике и физике.. с акцентом на логику и смекалку и с минимальным уровнем математической и физической подготовки (7-9 кл. школы). 
Как-то ~месяц назад в одну из флеймовских тем уже кидал одну такую задачку, вроде некоторым даже понравилось, пытался решать народ.. недавно делал уборку в кладовке, и в стопке старых книг нашёл тетрадь со спец курсов по математике за 10-11кл, где нам и давали всякие такие задачки, содержащие уровень знаний 8-го класса, но ооочень хитрые:smile: и вот решил создать отдельную тему. Сам я тогда учился в физ-мат лицее, но учился так себе, и мало что мог решить из подобного рода задач.
Кину сразу 2 задачки: первая простая, вторая - посерьёзней, как раз со спец-курсов тех.

Вот та что попроще:

p0008.thumb.png.4e5fbd9d2d709b183096d67ffbe109ff.png

1.thumb.png.451efcd8574aa9e3faffc876de7322d2.png

 

Ну а вот задачка специально для гуру ветки CAE "Динамика и прочность":biggrin:


Пусть a, b и с - стороны треугольника. p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.

Доказать неравенство: 1/(p-a)^2  +  1/(p-b)^2  +  1/(p-c)^2  >=  1/r^2. 
Рисунок не прикладываю, думаю итак всё ясно

В общем, дерзайте:smile: и свои задачки интересные тоже скидывайте, особенно взрослое поколение.. в советском союзе  школа поинтересней была.. и сильней!))

1 person likes this

Share this post


Link to post
Share on other sites


UnPinned posts
11 час назад, soklakov сказал:

@Елена  - не умеет пользоваться обыкновенным калькулятором. уволена из здравомыслящих.

Признала ошибку, научилась, возвращается.

3 people like this

Share this post


Link to post
Share on other sites
10 минут назад, Елена сказал:

Признала ошибку

Что есть - то есть. :good:

23 часа назад, Елена сказал:

Да действительно ошиблась. Не посмотрела, что включено Deg.

11 минуту назад, Елена сказал:

научилась

По принципу, - учиться - никогда не поздно.....ну, тоже круто! :yes3:

Хоть и был до этого по слухам красный диплом.

В 2/9/2019 в 15:03, Елена сказал:

красный диплом в 86-м

12 минуты назад, Елена сказал:

возвращается

А вот тут не факт. :no_1:

Ждем, что доктор @soklakov по этому поводу скажет.

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 284   Posted (edited)

10 часов назад, Борман сказал:

Не обыкновенным, а инженерным :)

Имея под рукой средства программирования (C, C++) - не было необходимости. Написать программу и откомпелировать  быстрее, чем щелкать на калькуляторе. Была б на работе, на калькуляторе не щелкала бы по кнопкам.

Edited by Елена

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 минуту назад, Елена сказал:

откомпелировать

Когда якобы программист с якобы красным дипломом так пишет........

Нет.....надо ждать заключения  @soklakov

1 person likes this

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 286   Posted (edited)

35 минут назад, Blurp сказал:

.надо ждать заключения  @soklakov

диагнозы ставят пациенты.

Поэтому не шумите. Точная точка X2 - вычисляется по двум другим. Поэтому более близко к поверхности -0,8165, -0, 52479, -0.8545.

Методом последовательных приближений может быть точнее. Программа сделает быстрее. Делайте цикл с шагом необходимой точности по X1 и X3 и минимизируйте расстояние от исходной точки, при достижении шаг можете дробить.

Или инженерам с высшим образованием еще и функцию показать x2 = f(x1,x3). Когда многие из вас еще под стол пешком ходили, мы математику уже писали, а пришел детский сад на завод и пальцы веером.

Edited by Елена

Share this post


Link to post
Share on other sites
2 минуты назад, Елена сказал:

Делайте цикл

Вот и делайте. Кто тут программист с красным дипломом?

Откомпелируете нам листенг. :smile:

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
2 минуты назад, Blurp сказал:

Откомпелируете нам листенг. 

Все, я на заслуженном отдыхе. Проверить могу, а писать ни за кого ничего не буду.

Share this post


Link to post
Share on other sites
18 минут назад, Елена сказал:

Все, я на заслуженном отдыхе.

1511647789140795712.jpg

Share this post


Link to post
Share on other sites
12 часа назад, soklakov сказал:

не умеет пользоваться обыкновенным калькулятором. уволена из здравомыслящих

зачем так грубо:smile:у всех наверняка бывали моменты, когда забыл/не понимаешь простую вещь или когда не замечаешь очевидного на фоне выполнения ёмкой работы..
да  и нельзя забывать про то, что едва ли кто-нибудь может претендовать на исчерпывающее понимание предмета..
быть может опять субъективно слишком выражаюсь, но приведу пример, связанный с тем что @Борман писал про замечательную эквивалентность sinx=x
относительно недавно поймал себя на мысли, что не в полной мере понимаю значение слова "радиан". Ну то есть со школы ещё знал, что это мера угла, ну и формулу помню перевода из обычных градусов в радианы. А смысл то радианов не понимал))
потом вспомнил картинку, которую опять же рисовали мелом на доске в школе: то что радиан есть угловая мера, соотв-ая длине дуги равной 1 на единичной окружности. А через окружность вводятся все тригонометрические функции. Аргументы последних удобней на обычной числовой прямой отмечать: не 7200 град, а 20pi радиан:smile:да и вообще Pi имеет прямое отношение именно к окружности.. ну ещё можно и про циклическую частоту w сказать - то что она относится именно к движению по окружности или периодическому движению исходя из вышесказанного.. и т.д. и т.д.
просто в рутинной работе многие уже не замечают такие вещи и просто пользуются..))

Share this post


Link to post
Share on other sites
16 минут назад, Blurp сказал:

1511647789140795712.jpg

По возрасту наверное ваша супруга. Или женщину в шахту нужно отправить. Логичней на верхней картинке поместить ваш портрет

Share this post


Link to post
Share on other sites
16 минут назад, Елена сказал:

Логичней на верхней картинке поместить ваш портрет

Л - Логика. :bb:

DVyFF.png

 

:biggrin:

 

1 person likes this

Share this post


Link to post
Share on other sites
3 часа назад, one man сказал:

работает ли САПР за пределами параметрического задания поверхностей

САПР - прикладная программа над https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_modeling_kernel. Ну и какой дурак (в начале статьи список претендентов) Вам покажет то, за что он получает бабло?

3 часа назад, one man сказал:

если бы не поленились узнать

Мне как юзеру САПР //-но.

3 часа назад, one man сказал:

это балаган.

Что бы не было балагана, обычно, специалистам начинают платить, лучше деньгами.

3 часа назад, one man сказал:

мы победили Maple, мы чемпионы.

Конечно, MatLab 4ever.

3 часа назад, one man сказал:

вам не составит труда показать хотя бы просто линии пересечения поверхностей в САПР при различных видах их задания

разговор глухого с немым. второй литр "Сладовара" подходит к концу и я до сих пор не пойму, что вы еще хотите увидеть. критерии какие?

1 person likes this

Share this post


Link to post
Share on other sites
3 часа назад, Jesse сказал:

зачем так грубо:smile:

шоковая терапия)

4 часа назад, Blurp сказал:

Нет.....надо ждать заключения  @soklakov

терапия работает, наблюдается устойчивая ремиссия:smile:

1 person likes this

Share this post


Link to post
Share on other sites
17 часов назад, one man сказал:

Повторяю, у меня эллипсоид  не вращения, или это ни о чём не говорит?

Какая разница, я эллипс и протянуть с вращением и скручиванием могу - параллельные кривые так же построятся. Даже если как глину поверхность помну.

Share this post


Link to post
Share on other sites
4 часа назад, Елена сказал:

мы математику уже писали, а пришел детский сад на завод и пальцы веером.

На заводе математика это , обычно, 9 классов. Что ж вы там такого понаписали что детский сад вас за пояс заткнул и на пенсию выперли? За профнепригодность?

 

46 минут назад, soklakov сказал:

устойчивая ремиссия

устойчивый невроз на почве конфликта поколений.

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 297   Posted (edited)

41 минуту назад, frei сказал:

Что ж вы там такого понаписали что детский сад вас за пояс заткнул и на пенсию выперли?

Ну во-первых не заткнул. Во-вторых все мое ПО работает (которое эти детки сопровождают и пытаются вникнуть), а в третьих - даже воевать не стала, потому, что сразу же к своим переехала. Здесь вся социалка лучше. Деткам по 30-40, а мозгов еле на 15. Я думаю, что такая большая игра у директора, чтобы еще одно направление на себя взяла. Если предложить, то придется зарплату увеличить, а вот если на поклон, то можно и не поднимать. А детки расстарались, чтобы женщине предпенсионного возраста напаскостить.

Edited by Елена

Share this post


Link to post
Share on other sites
2 часа назад, zerganalizer сказал:

Какая разница, я эллипс и протянуть с вращением и скручиванием могу - параллельные кривые так же построятся. Даже если как глину поверхность помну.

Что есть параллельная кривая к данной кривой? Она отстоит на каком-то фиксированном расстоянии, на плоскости это расстояние по нормали, то есть, по прямой. А в случае поверхности как Вы его измеряете?  Если это кратчайшее расстояние по поверхности, то это расстояние исключительно вдоль геодезической линии.  Тогда автоматически вопрос:  на каких поверхностях Вы и САПР строите геодезические линии?
Хорошо, пусть любой эллипсоид, но пусть и со вторым примером тоже –  с трансцендентной поверхностью? Напомню её уравнение:
x3=0.01*exp(x1)/(0.01+x1^4+x2^4);
Не надо выдавать мне никаких коммерческих секретов, просто обоснуйте, пожалуйста, построение.

И ещё меня интересует способ получения (связного участка)  линии пересечения гладких поверхностей в самой продвинутой САПР или ещё где, если это делается  лучше.  Например, зашитый в Maple алгоритм  получения линии пересечения работает примерно как график построения неявных поверхностей, другими словами,  использование  его  в практических целях почти нереально, кромке как смотреть на картинку.
(На последнем вопросе основана идея параметризации неявных поверхностей. Идея получила одобрение у участников форума Maple, некоторые из которых являются сотрудниками MapleSoft.  Но тамошняя публика лишь частично имеет отношение к САПР и язык общения чужой. )
Для меня никаких  коммерческих  моментов здесь нет.

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
20 минут назад, one man сказал:

Что есть параллельная кривая к данной кривой? Она отстоит на каком-то фиксированном расстоянии, на плоскости это расстояние по нормали, то есть, по прямой. А в случае поверхности как Вы его измеряете? 

Без понятия, я ничего не меряю, все делает САПР. Проверять правильность построения в САПРе? Неинтересно.

Share this post


Link to post
Share on other sites
25 минут назад, one man сказал:

это расстояние исключительно вдоль геодезической линии. 

С х*ра ли баня то упала? Берем тор, нифига они не //-ны.

 

27 минут назад, one man сказал:

поверхностях Вы и САПР

используются NURBS. Можно получить изопарму.

1 person likes this

Share this post


Link to post
Share on other sites

Спасибо за информацию. Пробежался по описанию моделирования. Теперь немного понятно, почему мы говорили о совершенно разных вещах, и каким образом в САПР строятся поверхностные кривые, в том числе и параллельные.
Полностью согласен, незнание кем-либо этого инструментария должно вызывать смех.  

Если интересно, картинки от Maple отображают непосредственно процесс решения системы нелинейных уравнений.

Share this post


Link to post
Share on other sites

@soklakov Ну ты точно терапевт! :rofl:

1 person likes this

Share this post


Link to post
Share on other sites
8 часов назад, one man сказал:

Если интересно, картинки от Maple отображают непосредственно процесс решения системы нелинейных уравнений.

Инженерам пока не интересно, потому что не понятно зачем это надо? Зачем изобретать математику поверхностей NURBS еще раз? Ради "применяемости" в кандидатской?:biggrin:

бублик:

Скрытый текст

tempsnip.thumb.png.6038132f29ccac7ff63d08b48fbd7a88.png

 

1 person likes this

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 304   Posted (edited)

9 часов назад, frei сказал:

Инженерам пока не интересно, потому что не понятно зачем это надо? Зачем изобретать математику поверхностей NURBS еще раз?

Конкретный метод работает без сплайнов, точность вычислений зависит только от времени и от мощности машины. В принципе, решение любой системы нелинейных уравнений можно представить геометрически как пересечение поверхностей, соответствующих каждому уравнению, в пространстве размерности, равной количеству независимых переменных в системе. (И там тоже есть  свои геодезические и свои параллельные.) Такие задачи нельзя полноценно визуализировать, тем более  решить с помощью NURBS.  Есть химические задачи, задачи локации и много ещё, от чего я далёк.  Или взять дифференциальные уравнения неявного вида, особые точки автономных систем,  они тоже могут встретиться в инженерной практике – никакой САПР и SIM  тут не помощник.
Зато пакеты компьютерной алгебры справляются почти со всеми задачами, особенно когда мощная машина. И иногда  интересно решать какую-нибудь задачку, к которой раньше не знал, как подступиться, а с пакетом запросто.  
(Те же бублики могут быть  угловатыми.)

 

Edited by one man

Share this post


Link to post
Share on other sites
9 часов назад, frei сказал:

бублик:

@frei  Cool! :good:

Бублик зеленому ништяк нежданчиком. После того, как :g:

DWW5E.gif

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
2 часа назад, one man сказал:

Конкретный метод работает без сплайнов, точность вычислений зависит только от времени и от мощности машины.

Хорошо.

2 часа назад, one man сказал:

В принципе, решение любой системы нелинейных уравнений можно представить геометрически как пересечение поверхностей, соответствующих каждому уравнению, в пространстве размерности, равной количеству независимых переменных в системе. (И там тоже есть  свои геодезические и свои параллельные.)

Не могу вспомнить конкретный пример где бы это мне могло пригодится. Но еще в старой литературе множество задач решалось графо-аналитическим методом. А потом все на ЭВМ пересели, потому что быстрее. 

 

2 часа назад, one man сказал:

Такие задачи нельзя полноценно визуализировать, тем более  решить с помощью NURBS.

Как так?

 DLP9y.gif

у NURBS проблема лишь с гладкими переходами между кусками поверхности. это с успехом некоторые САПР компенсируют подразбиваемыми поверхностями.

2 часа назад, one man сказал:

Или взять дифференциальные уравнения неявного вида, особые точки автономных систем,  они тоже могут встретиться в инженерной практике – никакой САПР и SIM  тут не помощник.

Для вашего понимания. Вот пример внутренней огибающей двудольной перитрохоиды для построения поршня в роторном двигателе:

уравнение  

inv.JPG.1759b96c019dbd4a2c69356365f36278.JPG

Hide  

 

Так она выглядит:  

inv1.thumb.JPG.0a55140e9826880b59a8335101901129.JPG

Hide  

 

А вот эскиз поршня по которому делают чертеж детали  

Нужно знать всего 2 неизвестных, которые берутся из формулы перитрохоиды-R, e. Не забывайте, что толщина лезвия это всего лишь 0,1мм.

inv2.JPG.cdb9d8bbe69be75d5c0fc62546e4ca7f.JPG

Hide  
4 people like this

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 307   Posted (edited)

3 часа назад, frei сказал:

 

Пространственная кривая (3d) описывается тремя уравнениями с 4 переменными, одну из которых принято называть параметром. Это значит, что мы работаем в 4d, но нас интересуют изменения только в нашем видимом пространстве. (Окружность тоже легко представима в пространстве – это спираль, но нам нужна только её проекция на привычную XoY.) Теперь представьте, что у Вас координаты явно не выражены через параметр(ы), а имеют место три уравнения “жуткого” вида, которые принято обозначать примерно так: fi(v,x,y,z), i=1..3, три уравнения и 4 переменных. Пожалуйста, какие сплайны (и какая простая визуализация, будь только переменных на 1 больше)? Хотя решение это по-прежнему  пересечение трёх поверхностей, единственно, они пересекаются в 4-х мерном пространстве, их пересечение это 3d кривая. И как её получить?  Но в тех же рычажных механизмах и в манипуляторах переменных часто бывает больше 10, к тому же в манипуляторах разность между числом переменных и числом уравнений далеко за 1. Чем не инженерная задача?
И давайте добавим в эти три уравнения ещё первые производные 3-х любых переменных по оставшейся четвёртой…


 

Edited by one man

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 308   Posted (edited)

Пример к последним сообщениям.
Реальная задача, чисто инженерная. Задача может быть поставлена следующим образом: найти решение системы уравнений f1,f2,f3.  Или так:  найти линию, заданную уравнениями f1,f2,f
3. (Любая из четырёх переменных может быть выбрана в качестве параметра.)
 
f1(x1,x2,x3,x4)= (4*(1-2*cos(x1)+2*cos(x2)-2*cos(x3)))/Pi - x4 = 0;
f2(x1,x2,x3,x4)= (4*(1-2*cos(5*x1)+2*cos(5*x2)-2*cos(5*x3)))/(5*Pi) = 0;
f3(x1,x2,x3,x4)= (4*(1-2*cos(7*x1)+2*cos(7*x2)-2*cos(7*x3)))/(7*Pi) = 0;


 

 

Edited by one man

Share this post


Link to post
Share on other sites

Геометрическая задача: качение без проскальзывания. Несложно показать качение окружности или сферы – можно сделать за счёт имитации движения, что внешне соответствует условию.
В данном случае эллипсоид катится по “квадратной сфере” за счёт преобразования его исходного уравнения. (Есть примеры с синхронной печатью уравнения, задающего положение поверхности в текущей точке.)

 

rolling of surface5.gif

Share this post


Link to post
Share on other sites

реальная задача, с которой не все просто в сапрах это создание гладких огибающих кривых и поверхностей в процессе их движения.

копайте в эту сторону, если хотите прославиться. все зубчатые передачи, кулачковые механизмы и роторные двигатели на том стоят

Share this post


Link to post
Share on other sites

DdIV1.gif

3 people like this

Share this post


Link to post
Share on other sites
41 минуту назад, one man сказал:

качение без проскальзывания

Лучше со скольжением.

В 05.04.2013 в 18:24, BSV1 сказал:

Или как-то так. :bleh:

post-11848-1365164637.gif

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Речь идёт не о рисунке, а о решении задачи преобразования исходного уравнения. Рисунок просто визуализация решения.  Решение в правом углу.
 

WITHOUT SLIPPING 7.gif

29 минут назад, k_v сказал:

копайте в эту сторону, если хотите прославиться. все зубчатые передачи, кулачковые механизмы и роторные двигатели на том стоят

Нет, я уже старый и свою посильную задачу выполнил – довёл до самостоятельного полёта метод Драгилева решения систем нелинейных уравнений. Теперь время от времени осваиваю Maple в плане прикладных примеров и выкладываю у них на форуме тексты. Возможно, кому-нибудь пригодится.

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 314   Posted (edited)

11 минуту назад, one man сказал:

не о рисунке

Именно о рисунках.

Вы когда на клавиши клаватуры давите, нажимаете не на уравнения, а на вполне определённые объекты, сделанные кем то на Тайване (а мб еще где) по "рисункам", а не по решению в правом углу.

В 12.01.2018 в 19:53, frei сказал:

Например, предлагаю задачу-есть какой-то замкнутый контур, не плоский естессно, с натянутой на него поверхностью. Теперь поверхность нужно тюнинговать, так чтобы:

1. площадь её стала минимальна;

2. средняя кривизна равна 0.

В 13.01.2018 в 09:47, frei сказал:

 

Показать содержимое
Hide
Показать содержимое
Hide

 

Edited by frei
2 people like this

Share this post


Link to post
Share on other sites
4 минуты назад, frei сказал:

Вы когда на клавиши клаватуры давите, нажимаете не на уравнения, а на вполне определённые объекты, сделанные кем то на Тайване (а мб еще где) по "рисункам", а не по решению в правом углу.

Нет, я осмысленно программирую алгоритм, который может быть выполнен на любом языке низкого уровня. А Вы, как, я понял, делитесь своим опытом работы с САПР?

Share this post


Link to post
Share on other sites

Делюсь с Вами тем, что САПРы умеют делать на текущий момент.

Share this post


Link to post
Share on other sites
15 минут назад, frei сказал:

1. площадь её стала минимальна;

2. средняя кривизна равна 0.

Я не знаком с математической постановкой задачи минимизации площади поверхности.  

Share this post


Link to post
Share on other sites
32 минуты назад, frei сказал:

Лучше со скольжением.

Веселая темка была с тем шнеком.

Жаль, @BSV1 редко опускается до реальной геометрии, представленной в топиках.

Скрытый текст

DdKfY.png

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
4 минуты назад, one man сказал:

Я не знаком с математической постановкой задачи минимизации площади поверхности.  

Я удивлен.

Скрытый текст

Первые исследования минимальных поверхностей восходят к Лагранжу (1768), который рассмотрел следующую вариационную задачу: найти поверхность наименьшей площади, натянутую на данный контур. Предполагая искомую поверхность задаваемой в видеz=f(x,y), Лагранж получил, что эта функция должна удовлетворять уравнению Эйлера — Лагранжа.

Позже Монж (1776) обнаружил, что условие минимальности площади приводит к условию  H=0, и поэтому за поверхностями с {\displaystyle H=0} закрепилось название «минимальные». В действительности, однако, нужно различать понятия минимальной поверхности и поверхности наименьшей площади, так как условие {\displaystyle H=0} представляет собой лишь необходимое условие минимальности площади, вытекающее из равенства нулю 1-й вариации площади поверхности среди всех поверхностей с заданной границей. Для проверки достижения в указанном классе хотя бы относительного (локального) минимума приходится исследовать вторую вариацию площади поверхности.

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 320   Posted (edited)

13 минуты назад, frei сказал:

Я удивлен

Про эти задачи  читал, а не знаком – в смысле пока не понимаю.
Мой умственный предел в вариационных задачах это численное решение ОДУ с краевыми условиями и численное нахождение геодезической, последнее, правда, на любой гладкой поверхности.
 

Признаюсь, кинематику рычажных механизмов  я  тоже не понимаю, как она изложена в учебниках. Пока не столкнулся на практике и не довёл решение до школьного уровня. Теперь у меня практики никакой нет, если сам себя не заставлю.
 

 

Edited by one man

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 321   Posted (edited)

19 часов назад, one man сказал:

Мой умственный предел в вариационных задачах это численное решение ОДУ с краевыми условиями и численное нахождение геодезической, последнее, правда, на любой гладкой поверхности.

а что, на негладкой поверхности тоже можно геодезическую построить?))

20 часов назад, frei сказал:

 

Показать содержимое
Hide

а шо это за сапр такой, в котором такие штуки вытворять можно?:smile:

20 часов назад, frei сказал:

 

Показать содержимое
Hide

шо это за сапр такой, в котором такие штуки вытворять можно?:smile:

Edited by Jesse

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!


Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.


Sign In Now

  • Recently Browsing   3 members

    • ДОБРЯК
    • Борман
    • AlexKaz