Jesse

Хитрые математические и физические задачки.

1,601 posts in this topic

Чтобы все могли отвлечься от своих обычных рутинных обязанностей в плане решения инженерных прикладных задач, решил создать тему, в которую все могли бы кидать интересные задачки по математике и физике.. с акцентом на логику и смекалку и с минимальным уровнем математической и физической подготовки (7-9 кл. школы). 
Как-то ~месяц назад в одну из флеймовских тем уже кидал одну такую задачку, вроде некоторым даже понравилось, пытался решать народ.. недавно делал уборку в кладовке, и в стопке старых книг нашёл тетрадь со спец курсов по математике за 10-11кл, где нам и давали всякие такие задачки, содержащие уровень знаний 8-го класса, но ооочень хитрые:smile: и вот решил создать отдельную тему. Сам я тогда учился в физ-мат лицее, но учился так себе, и мало что мог решить из подобного рода задач.
Кину сразу 2 задачки: первая простая, вторая - посерьёзней, как раз со спец-курсов тех.

Вот та что попроще:

p0008.thumb.png.4e5fbd9d2d709b183096d67ffbe109ff.png

1.thumb.png.451efcd8574aa9e3faffc876de7322d2.png

 

Ну а вот задачка специально для гуру ветки CAE "Динамика и прочность":biggrin:


Пусть a, b и с - стороны треугольника. p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.

Доказать неравенство: 1/(p-a)^2  +  1/(p-b)^2  +  1/(p-c)^2  >=  1/r^2. 
Рисунок не прикладываю, думаю итак всё ясно

В общем, дерзайте:smile: и свои задачки интересные тоже скидывайте, особенно взрослое поколение.. в советском союзе  школа поинтересней была.. и сильней!))

1 person likes this

Share this post


Link to post
Share on other sites


ID: 2   Posted (edited)

По перво задаче - точка D будет в месте касания эллипса с фокусами в точках А и В и прямой l?

200px-ElipseAnimada.gif

Edited by karachun

Share this post


Link to post
Share on other sites
19 минут назад, karachun сказал:

По перво задаче - точка D будет в месте касания эллипса с фокусами в точках А и В и прямой l?

:biggrin:Ну ты и усложнил. Всё намного проще))))

Ещё варианты?))

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 4   Posted (edited)

Но ведь правильно. Взять две кнопки, нитку и карандаш и стравливая нитку руками нарисовать несколько полуэллипсов до касания.

Отзеркалить точку В относительно прямой и провести прямую от этой новой точки до точки А. На пересечении и будет нужная точка.

Edited by karachun

Share this post


Link to post
Share on other sites

@karachun решение настолько простое, что ты смеятся будешь.

Эллипсами и не пахнет

Пусть народ ещё подумает, сразу ответ выкладывать не буду. Да и неправильно это по отношению ко всем))

1 person likes this

Share this post


Link to post
Share on other sites

Обновил предыдущее сообщение, оно?

Share this post


Link to post
Share on other sites

@karachun оно)

Но вообще надо привести доказательство. 

Развлекайся:biggrin:

1 person likes this

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 8   Posted (edited)

А чего тут доказывать. BD всегда равно B1D так, как отзеркалено. Если немного передвинуть точку D то AD + DB1 станет больше, кратчайшее расстояние между двумя точками это прямая.

test.jpg

Edited by karachun
2 people like this

Share this post


Link to post
Share on other sites

5bec183a116cd__1411201815481200.thumb.jpg.2ea4a9e98ed0a92dcb4287807344fc4f.jpg

Знай наших.

3 people like this

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 10   Posted (edited)

во!)@Борман указал на элементарнейшее приложение данной задачи, используемое в оптике - угол падения равен углу отражения.. если более строго, то свет выбирает путь наименьшего времени распространения.
Вообще, это задача Герона, которая была предложена ещё в 1-м веке до н.э.:smile:


а вот теперь смейтесь:

элементарное неравенство треугольника. никаких эллипсов тут нет
хорошо что никто конечными элементами не додумался решать:biggrin: 
5bec188a3f3c2__1.thumb.png.0950a94c46bdccfe484d22e5b4e58b19.png

 

5bec192a5d785__2.thumb.png.1a675e1e071e5da50c2d507e22b7657a.png

конец.

Edited by Jesse
1 person likes this

Share this post


Link to post
Share on other sites
2 часа назад, Jesse сказал:

Пусть a, b и с - стороны треугольника. p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.

Доказать неравенство: 1/(p-a)^2  +  1/(p-b)^2  +  1/(p-c)^2  >=  1/r^2. 

с одной стороны S^2=p^2*r^2

с другой стороны S^2= p(p-a)(p-b)(p-c)

откуда

1/r^2=p/{(p-a)(p-b)(p-c)}

остается сравнить выражения

(1) 1/(p-a)^2  +  1/(p-b)^2  +  1/(p-c)^2 

и

(2) p/{(p-a)(p-b)(p-c)}

Для этого оба приводим к общему знаменателю {(p-a)(p-b)(p-c)}^2

После чего упрощаем числители с обоих сторон, приводим подобные и вот тут должны убедиться, что числитель (1) больше чем числитель (2). Но я поленился.

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

 

4 минуты назад, soklakov сказал:

остается сравнить выражения

(1) 1/(p-a)^2  +  1/(p-b)^2  +  1/(p-c)^2 

и

(2) p/{(p-a)(p-b)(p-c)}

думай как сделать это правильно без общего знаменателя)) направление решения верное
 

 

5 минут назад, soklakov сказал:

Но я поленился.

мой учитель в школе тоже постоянно говорил мне, что я ленивый. А я не верил..
Оказалось, что математике надо уделять больше, чем 15-20 минут в день)) так что давай давай добивай, дальше самое интересное!)

А ещё он упрекал всех в классе, то что мы не можем решать задачи за 8 класс будучи в 11. "Позорниками" называл:biggrin:

Share this post


Link to post
Share on other sites
7 минут назад, soklakov сказал:

с одной стороны S^2=p^2*r^2

с другой стороны S^2= p(p-a)(p-b)(p-c)

Э-э-э-э... это читерство.

 

Так, ладно. 

@Jesse, а где хитрые физические ?

Задачи "на движение" не предлагать. 

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 14   Posted (edited)

2 минуты назад, Борман сказал:

а где хитрые физические ?

это вы мне скажите!) я же в шапке отписал, пусть все скидывают))

 

Edited by Jesse

Share this post


Link to post
Share on other sites
4 минуты назад, Jesse сказал:

думай как сделать это правильно без общего знаменателя))

почему и зачем "без"? есть решение чуть проще и элегантнее? допускаю. но откуда императив? "не говорите мне, что делать, и я не скажу, куда вам идти".

4 минуты назад, Jesse сказал:

так что давай давай добивай, дальше самое интересное!)

1. там много писать, а "у него ноги, ему домой". может завтра. но право же - приводить подобные не самое интересное занятие.

2. там нет самого интересного, если вы предлагаете искать альтернативный путь, то надо сначала его найти, а лишь потом двигаться дальше. а я его пока не нашел.

6 минут назад, Борман сказал:

Э-э-э-э... это читерство.

почему? или в доказательство неравенства должен входить вывод формулы Герона? 

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 16   Posted (edited)

7 минут назад, soklakov сказал:

есть решение чуть проще и элегантнее?

есть решение элегантное) вот тут смекалка и нужна!)

7 минут назад, soklakov сказал:

в доказательство неравенства должен входить вывод формулы Герона? 

неа) доказательство неравенства расписывается буквально в 5 строчек, 2 из которых вы уже написали))

я тогда ответ спешить выкладывать не буду, тут люди любознательные наверняка ещё есть на форуме которые захотят "тряхнуть стариной")))
выложу ответ в пон-к. если раньше никто не решит:blum3:

Edited by Jesse

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 17   Posted (edited)

3 часа назад, Jesse сказал:

Вот та что попроще:

p0008.thumb.png.4e5fbd9d2d709b183096d67ffbe109ff.png

 

1 час назад, Jesse сказал:

во!)@Борман указал на элементарнейшее приложение данной задачи, используемое в оптике - угол падения равен углу отражения.. если более строго, то свет выбирает путь наименьшего времени распространения.
Вообще, это задача Герона, которая была предложена ещё в 1-м веке до н.э.:smile:


а вот теперь смейтесь:

элементарное неравенство треугольника. никаких эллипсов тут нет

Ну это геометрическое решение, а не математическое. Математика может быть иная:

 

 

Снимок экрана_2018-11-14_19-34-46.png

И у меня точку придётся искать графическим методом, печалька.

Edited by AlexKaz

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 18   Posted (edited)

@AlexKaz так тоже можно, через экстемум функции все дела.. но согласитесь, что фраза "сторона треугольника всегда меньше суммы двух других" звучит как-то короче:biggrin:
лучше присоединяйтесь пока к доказательству другой задачки))
ну а я пока "Библиотечку Квант" полистаю, физическую задачку тут просят..:smile:

Edited by Jesse

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 19   Posted (edited)

Физическая задачка специально для искушённых))..
zad_fiz.thumb.png.73f41488175b5b5f4795a37e2b9ff329.png

Для ясности скажу, что взаимодействием песчинок между собой можно пренебречь. Также известна масса песчинки m.
Enjoy!)

Edited by Jesse

Share this post


Link to post
Share on other sites

0.07722мм.

1 person likes this

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 21   Posted (edited)

5 минут назад, Борман сказал:

0.07722мм.

оперативно))
видимо надо бы что-нибудь повеселее поискать

позже решение скину с книжки

Edited by Jesse

Share this post


Link to post
Share on other sites
5 часов назад, Jesse сказал:

видимо надо бы что-нибудь повеселее поискать

Доказать Закон Архимеда. Очень весело.

Share this post


Link to post
Share on other sites
В 14.11.2018 в 14:09, Jesse сказал:

Пусть a, b и с - стороны треугольника. p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.

Доказать неравенство: 1/(p-a)^2  +  1/(p-b)^2  +  1/(p-c)^2  >=  1/r^2. 

ну шо, никто?)
слабаки)))

Share this post


Link to post
Share on other sites
В 15.11.2018 в 19:10, Борман сказал:

Доказать Закон Архимеда.

ну шо, никто?

Share this post


Link to post
Share on other sites

неужто никто про неравенство Коши не слыхивал?!)) эх вы!))

Share this post


Link to post
Share on other sites

@Fedor С такими задачами надо быть осторожным, сколько человек оказались потеряны для науки и общества пытаясь найти простое доказательство теоремы Ферма.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Насколько знаю в конце концов решили все-таки. Наука требует жертв такова цена прогресса. Или думаешь как все или изобретаешь собственные концепты. Не всегда удачные. Точнее с вероятностью около 97%  неудачные, но таков кпд науки вообще  :)

Share this post


Link to post
Share on other sites

Какова правктическая польза человечеству от того, что будет доказана Теорема Ферма?

Share this post


Link to post
Share on other sites
2 минуты назад, Борман сказал:

Какова правктическая польза человечеству от того, что будет доказана Теорема Ферма?

В конце 19в/начале 20 вв появилась такая на первый взгляд абсолютно абтрактная штука, как риманова геометрия. А потом бац - и Эйштейн на её основе создал общую теорию относительности. Потом бац - и последняя используется в GPS для более точной геолокации...

Share this post


Link to post
Share on other sites

Текущие запросы человечества вполне были бы удовлетворены, если бы какая-нибудь Теорема была бы справедлива для чисел до 1e50, и плевать, что она не справедлива для чисел до 1e500.

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 32   Posted (edited)

Большие простые числа используются в криптографии, есть несколько исследовательских проектов по поиску новых больших простых чисел на суперкомпьютере. По теореме Ферма: с ее доказательством скорее всего некоторые математические задачи можно решить проще так как их можно свести к этой теореме. Собственно для этого теоремы и нужны, чтобы не начинать каждый раз с самого начала.

Edited by karachun

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 33   Posted (edited)

9 минут назад, Борман сказал:

Текущие запросы человечества вполне были бы удовлетворены, если бы какая-нибудь Теорема была бы справедлива для чисел до 1e50, и плевать, что она не справедлива для чисел до 1e500.

Легко доказывать, я называл такое грязной индукцией или методом монтекарловки. Включаете датчик случайных чисел и заряжаете на ночь проверять. Если ни одного отклонения не возникает, то говорите что теорема верна с вероятностью какого то числа девяток . Легко доказывать, пивка хлебнул и спишь, а доказательство идет :)

Edited by Fedor

Share this post


Link to post
Share on other sites
13 минуты назад, karachun сказал:

Собственно для этого теоремы и нужны, чтобы не начинать каждый раз с самого начала.

А я говорю о том, что если бы мы одновременно проживали все возможные моменты времени, пространства и проч., то да... Нам нужен шестой знак числа Пи. Но в том мире, в котором мы живем - мы вполне обходимся двумя после запятой.

Share this post


Link to post
Share on other sites

короче. решение математической задачки:

В 14.11.2018 в 16:44, soklakov сказал:

остается сравнить выражения

(1) 1/(p-a)^2  +  1/(p-b)^2  +  1/(p-c)^2 

и

(2) p/{(p-a)(p-b)(p-c)}

дальше надо доказать, что (2)<(1)
сделаем следующую замену: (p-a)=x;  (p-b)=y; (p-c)=z. 
Тогда числитель второго выражения преобразуется так: x + y + z = 3p - 2p = p.

То есть надо доказать, что (x + y + z)/xyz <= 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2.

Левую часть нер-ва делим почленно, правую преобразуем так, что
1/yz + 1/xz + 1/yz <= (1/y^2 + 1/z^2)/2 + (1/x^2 + 1/z^2)/2 + (1/y^2 + 1/x^2)/2.
Для каждого слагаемого соответственно в левой и правой части выполняется нер-во Коши (среднее геометрическое меньше либо равно среднему арифметическому двух чисел), например 1/yz <= (1/y^2 + 1/z^2)/2. Для других двух пар то же самое.
Если каждое слагаемое из суммы трёх в левой части меньше соответственно каждого слагаемого из суммы трёх в правой части, то и вся левая сумма меньше либо равна правой.
Вот и всё!) Нер-во Коши. Это школа, детка))

 


Теперь физика:
Решил только @Борман  и @soklakov вроде))
p0139.thumb.png.d4671b80a78550bfce8379af3395be14.png

2 people like this

Share this post


Link to post
Share on other sites

ID: 36   Posted (edited)

.

Edited by Борман

Share this post


Link to post
Share on other sites

@Борман Ну это уже какой-то эмпиризм возведенный в квадрат. Тогда можно и теорему Пифагора считать справедливой только по тому что она оказалась справедлива для 1е20 вариантов треугольников а все доказательства выкинуть. Такой подход допустим в технике но в математике такое не прокатит.

Share this post


Link to post
Share on other sites
51 минуту назад, Fedor сказал:

Легко доказывать, я называл такое грязной индукцией или методом монтекарловки. Включаете датчик случайных чисел и заряжаете на ночь проверять.

Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение. 
Например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? Легко  бац – а вот оно, решение!
Доказать отсутствие решения сложнее. 
Путем перебора вы отсутствие решения не докажите. :biggrin:

Share this post


Link to post
Share on other sites

ну вот, все в оффтоп ушли(((
неужто никто интересных задачек не помнит??!
советское поколение называется...

Share this post


Link to post
Share on other sites
52 минуты назад, ДОБРЯК сказал:
Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение. 
Например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? Легко  бац – а вот оно, решение!
Доказать отсутствие решения сложнее. 
Путем перебора вы отсутствие решения не докажите. :biggrin:

Речь не о решениях. Их то просто проверяешь подставив и все дела. Речь об обобщениях. Например как тут приводят пример с теоремой Пифагора.  Берешь вектора (a,0)  и (0, b)   и (a,b)    Потом проверяешь варьируя a и b   теорему Пифагора. Можно и в многомерном пространстве . Мы же все равно занимаемся грязной математикой так что чего церемониться ?  Не в храме, а в мастерской как говорил Базаров :)

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!


Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.


Sign In Now

  • Recently Browsing   0 members

    No registered users viewing this page.



  • Сообщения

    • piden
      Версии софта нет, к-файла нет... Ты просто поговорить об этом хочешь?
    • gv-74
      Согласен абсолютно, на manufacturing разработчики вообще походу забили, а по поводу 6-ки и стратегии ВСО - фигня какая-то, рядом с imachining от solidcam даже рядом не валялась. Самое интересное то, что у PTC ведь было перспективное направление - Toolmaker, но так просрать все полимеры на ровном месте, тут даже Autodesk "завидует".
    • fantom.ul
      Блин, утеряна культура общения на профильных форумах. Лезет некое с раёна... И требует! 
    • MiLloeDelo
      @tm-ares  ОГРОМНОЕ СПАСИБО  ! Думаю этот пост многим пригодится , я его сделаю  в одном посте Показать содержимое     Hide     А все остальное делать   Если хотите сделать , его в определенном разделе (к примеру  “Сборная торцевая фреза” ) или по типу в библиотеке то : Показать содержимое   Hide    
    • jumper99
      @karachun https://fex.net/s/tlzoeod нашел как переделать сетку в примерах  здесь вообще другой результат
    • tm-ares
      Queen - forever !   Hide  
    • yuka83
      Бердянск. Огромное спасибо просмотрю сейчас. установил 30 версию. Треует ключ при запуске сейчас ищу как обойти.
    • karachun
      Мне кажется это глюк отображения. Видно что там сетка обрезается.
    • jumper99
      @karachun Как то странно деформируются нижняя и правая часть цилиндра(ее край идет на скос) 
    • Вне зоны доступа
      @Крутой инвестор из ЕС Зазанался виктОр! Теперь со своей пацанвой ему впадлу перетереть. Он теберь только с лондонскими членами общается. Шутка ли - в самом Гарварде оценили его работу над ПИИ