Задача нагрева многослойной пластины

[Jey_User 0]

Здравствуйте.

Прошу помощи разобраться в следующей задаче и подсказать последовательность (алгоритм, формулы...) ее решения. Понимаю, что задача не сложная, и многие лишь улыбнуться, но у меня действительно проблема. Суть понятна, но как записать.

Давно решал такие задачи и вот возникла необходимость обратиться к знаниям... А тут "пробел".

Задача в следующем:

В воздухе (Токр = 20 градусов Цельсия, t=0) находится трехслойная пластина со сторонами 100х100 мм с известной толщиной слоев: 1 слой - Алюминий, 2 слой - вакуум, 3 слой - нержавеющая сталь. Через t=10 секунд на 1 слой (левая сторона пластины) падает нагревающее излучение мощностью 200 Вт. Мощность в 1 случае распределена равномерно по площади пластины (т.е. равномерный тепловой поток), во 2 случае - мощность распределена по Гауссу в пятне диаметром 30 мм. И это излучение действует на пластину 50 секунд, затем выключается.

Необходимо найти зависимость температуры Т(x,t) в любой точке пластины в любое время от начала t=0 и до момента охлаждения пластины обратно до Токр = 20 градусов Цельсия.

Боковые грани можно не учитывать.

[karachun 2 038]

2 часа назад, Jey_User сказал:

пластина со сторонами 100х100

 

2 часа назад, Jey_User сказал:

Боковые грани можно не учитывать.

Ты определись пластина бесконечная (теплообмен через торцы отсутствует) или имеет конечные размеры (это учебная задача или рабочая). Бесконечную пластину с равномерным нагревом можно решить при помощи учебника по тепломассообмену. Задача нестационарная, считать руками будет долго, хотя с экселем вполне осуществимо.

В общем в чем хотите считать? Руками или в ансисе?

В интернете можно найти множество учебников и пособий по теплообмену.

http://ispu.ru/files/u2/UP._bez_nomera_-_Bazovyy_kurs_lekciy_po_TMO.pdf

http://media.ls.urfu.ru/Projects/460/uploaded/files/113386_Расчеты по теплообмену.pdf

Если хотите во всем разобраться, то начните с простых, стационарных задач: передача тепла от одной стороны стенки до другой (теплопроводность) -> через одну стенку (конвекция + теплопроводность) -> добавьте излучение в окружающую среду -> теплообмен между двумя стенками с переизлучением (тут уже понадобиться считать итеративно).

Итерации для переизлучения не понадобятся, вот здесь хорошо расписано:

https://web.mit.edu/16.unified/www/FALL/thermodynamics/notes/node136.html

Изменено 18 октября 2018 пользователем karachun

[MotorManiac 130]

5 минут назад, karachun сказал:

определись пластина бесконечная

Я думаю размеры пластинки автор для плотности теплового потока указал

[Jey_User 0]

Спасибо, что откликнулись.

Размеры указал для плотности теплового потока (т.е. 200Вт/(10х10 см2) = 2 Вт/см2 для равномерного распределения.

Пластина имеет конечные размеры, но потоками через боковые стенки можно пренебречь. Да, задача нестационарная. Но ее решать и не прошу, прошу только дойти до конечной формулы, решать буду самостоятельно. ANSYS пока в мечтах. Решать буду посредством написания программки и на основе известных методов.

Разбираться буду обязательно, но к сожалению в данный момент нет на это времени, вот и прошу помочь оперативно получить решение. Искал примеры, чтобы на их основе прийти к решению, но толковых примеров не нашел.

Да, и (чего скрывать) задача на границе "учебная-рабочая". С одной стороны на основе нее вспомнить,чему учили ранее, но и решение ее лежит в оценке рабочего процесса.

[MotorManiac 130]

Как таковой формулы в которую подставил значения и получил результат скорее всего в данном случае не существует. В рамках данной задачи проще уже готовым МКЭ воспользоваться, тем же ансис итд.

[karachun 2 038]

@Jey_User Так как задача не стационарная, то распределение температуры внутри стенки будет нелинейным. Стенку придется разбить на множество слоев чтобы посчитать вручную. То есть в итоге придется решать таким же методом, как и в ансисе. Стационарную задачу можно решить на бумаге.

Изменено 19 октября 2018 пользователем karachun

[MotorManiac 130]

Смотря какие задачи у автора, если сделать все красиво то проще МКЭ, если задача прикладная, то можно  не считать распределение Т по стенке я думаю, если она не очень большую толщину имеет.

[karachun 2 038]

И это подходит только для случая равномерного нагрева - задача становится одномерной, если нагрев пятном то нужен ансис.

[karachun 2 038]

В этом учебнике со страницы 108 показано решение нестационарной тепловой задачи.

http://ispu.ru/files/u2/Teplomassoobmen._Uchebnoe_posobie_dlya_bakalavrov.pdf

[Jey_User 0]

Конечно, распределение Т в каждой точке не нужно. Нужно только знать изменение Т по одной точке на каждой стенке (равномерный нагрев). А стенок получается 4 (2 пластины, между ними вакуум). И еще нужно знать время установления равновесия от начала нагрева, до момента, когда температура на 4 (дальней) стенке перестанет расти.

Пятном нагрев - в Ansys - буду тогда решать позже, когда изучу Ansys)

 

Как Вам такой вариант (базовый):

1. состояние равновесия, t = 0

2. начинаем нагрев, температура стенки  1 пластины растет, пластина начинает излучать обратно в среду с 1 стенки и в вакуум со второй стенки, также конвекция обратно в среду.

Записываем уравнение теплового баланса с учетом этих тепловых потоков.

3. Вторая пластина начинает нагреваться потоком излучения от первой пластины через вакуумный слой. Температура стенки  2 пластины растет, пластина начинает излучать обратно в вакуум с 1 стенки и в среду со второй стенки, также конвекция во внешнюю среду.

Записываем уравнение теплового баланса с учетом этих тепловых потоков для 2 пластины.

3. Далее учитываем граничные условия и начальные условия, из уравнений теплового баланса для каждой пластины выражаем искомые температуры стенок во времени.

 

Как-то так. Или я не прав? Поправьте, пожалуйста, при необходимости.

Но вот как из этого время установления равновесия найти?

[karachun 2 038]

Так то оно так, но еще есть теплоемкости пластин, тепловая инерция. По ссылке в предыдущем посте есть пример решения простой нестационарной задачи аналитически (стр. 116). Также можно решить численно.