Найти кординаты точек плоского механизма

[IgoryaN 1]

Подскажите плз как решить эту задачку кажется такая простая.. 5 стержней всего..элементарный плоский механизм... немогу понять хоть ты тресни... итак задача : есть 5 - звенный плоский механизм вот рисунок: http://www.picshare.ru/view/3486095/ Известны координаты его точек A,B,C,D,E,F. Точку F сдвинули вправо какой алгоритм нахождения координат точек B,C,D,E? вот рисунок: http://www.picshare.ru/view/3486077

 

Полагаю необходимо решить систему из восьми уравнений:

(XE-XF)^2+(YE-YF)^2=LFE^2

(XD-XE)^2+(YD-YE)^2=LDE^2

(XF-XD)^2+(YF-YD)^2=LFD^2

XB^2+YB^2=LAB^2

XC^2+YC^2=LAC^2

(XC-XB)^2+(YC-YB)^2=LCB^2

(XD-XB)^2+(YD-YB)^2=LDB^2

(XE-XC)^2+(YE-YC)^2=LEC^2

 

где XB, - координат X точки B, а YB - соответственно координата Y той же точки B, остальные по аналогии.

LAB - Длина элемента AB, остальные по аналогии. Вычисляется по начальным координатам соответствующих точек.

Боюсь, что аналитически она не решается. То есть простой формулки для каждой координаты, видимо, не получить. Значит, если я не ошибся, придётся вам написать алгоритм решения этих уравнений в вашей программке.

Я попытался решить численно в Scilab, но проверить сегодня не получится, только завтра.

Вот, что получилось:

при координатах точки F(215,-5)

XB = 51,90

YB =50,06

XC =63,63

YC =80,25

XD =151,79

YD =78,07

XE =167,11

YE =54,09

[IgoryaN 1]

Проверил графически, вроде всё сходится.

Могу выложить файл-сценарий для Scilab.

 

[Dna 138]

@@IgoryaN, Круто и фантастика! Два слова, приходящие на ум первыми.

Респект!

Наглядно и весомо

[IgoryaN 1]

Потыкал побольше и пришёл   к выводу, что нужно будет дополнить эти уравнения, т.к. в некоторых случаях решение неверно. Связано это с тем, что на самом деле решений у этой системы несколько. Например "колено" FED может быть согнуто в другую сторону и это положение точек тоже будет решением данной системы.

Подумаю на досуге каким уравнением можно "зафиксировать колено" в нужном положении ))

[Dna 138]

@@IgoryaN, Так глядишь, вы и воплотите в жизнь задумку ТС и найдете универсальную аналитическую формулу. God bless the math

[IgoryaN 1]

Так глядишь, вы и воплотите в жизнь задумку ТС и найдете универсальную аналитическую формулу. God bless the math

Ага, жаль языками программирования не владею

Изменено 25 января 2014 пользователем IgoryaN

[Гость Excalibur921]

Потыкал побольше и пришёл   к выводу, что нужно будет дополнить эти уравнения, т.к. в некоторых случаях решение неверно. Связано это с тем, что на самом деле решений у этой системы несколько. Например "колено" FED может быть согнуто в другую сторону и это положение точек тоже будет решением данной системы.

Подумаю на досуге каким уравнением можно "зафиксировать колено" в нужном положении ))

 

На самом деле все  решается намного проще(без 8 уравнений, школьным курсом тригонометрии за вроде 5 класс) .Как тут подсказал один человек нужно заменить этот механизм 4-звенником(зафиксировать точки A,B,C.)  Построить график длинны AF  и график угла BD.Затем для нахождения координат всех точек механизма нужно просто померить расстояние от A до интересующей  F и угол AF,  найти при каком угле BD такая длинна AF. Подставляем найденный угол BD и находим координаты всех точек механизма, затем замеряем все длинны от A до всех точек механизма и просто поворачиваем  все точки на такой угол который найден при замере.

А если ситуация что угол BD может быть любой (механизм проворачивается) то просто ограничиваем его  двумя параметрами. И все =).

 

Метод прост и универсален, все решается школьной математикой.

 

Также можно решать разной степенью скорости( точности):

1. Вычисляем длинны АF дискретно допустим 1000 точек нет интерполяции.
2. Вычисляем длинны АF дискретно но при расчетах линейно интерполируем.
3. Вычисляем длинны АF дискретно но при расчетах  интерполируем параболой.
4. Или вообще считаем несколько точек или даже нагло всю функцию методом наименьших квадратов.

[IgoryaN 1]

Построить график длинны AF и график угла BD.

Простите, что-то  я не понял про графики. Что откладывать по Х,  что по У?

[Гость Excalibur921]

Ну просто же!

Если считать брутально в лоб с математическим подходом то здесь  символьные нелинейные трансцендентные уравнения, с которыми я сначала загнал Mathcad на научном форуме математиков, потом  загнал Mathematica, потом профессора какого-то вуза наверно математика который попытался слепить умня… а если зафиксировать 3 точки механизма то это элементарный 4 звенник на плоскости  азы ТММ.

По X время по Y расстояние от A до F. Поскольку для постройки графика угол BD приращаем линейно то у нас получаеться изогнутый график  длинны AF.

Итого есть два графика, т.е  зависимость при каком угле BD какое получается расстояние AF.

 

И теперь вот есть у нас интересующая точка F, как найти координаты всех других точек кроме A?.

Оч просто! Меряем расстояние от A до F  и абсолютный угол этого отрезка. 

Фиксируем точки ABC , ищем какой  измеряной длинне AF соотвецвует какой угол BD.

Решаем 4 звенник. Замеряем угол найденого AF и  сравниваем с углом начально найденым AF настоящим, затем меряем расстояние от A до всех точек механизма и просто поворачиваем все точки вокруг A. В итоге используется школьная тригонометрия вместо нелинейных трансцендентных уравнений в символьной форме которые заганяют в тупик крутые  мат. пакеты  матерых профессоров =)

 

 

IgoryaN а  вы умеете решать произвольный 4 звенник на плоскости?

Не подскажете проверенные формулы? Потому-то у меня не одни не сработали ( из 5 книг) из учебников, пришлось изобретать свой алгоритм решения на школьной тригонометрии

 

Кстати по этому методу получается вместо инверсной кинематики прямая.

А если интерполировать записанные значения расстояний от A до  всех точек ( много графиков)  и их углы ( много графиков) то можно и не считать 4 звенник постоянно, а просто выводить интерполированные длинны  и применять интерполированные углы интересующих значений, это еще в 10 раз ускорит расчеты, но как плата – неточные значения координат  точек механизма, а если брать данные для 1000 точек? То довольно точно можно. Как видите подходов много оказалось, и это только этот способ расчета, а есть еще настоящие алгоритмы нелинейных уравнений их много. А можно и линейные но схитрить, я выбрал простой, точный, понятный  и надежный метод на способах обточенных временем.

Изменено 21 февраля 2014 пользователем Excalibur921

[IgoryaN 1]

Вам удалось реализовать свой метод в виде программы?

Думаю ваш метод, конечно, имеет право на существование. Но сам факт необходимости построения каких-то графиков накладывает существенные ограничения. К примеру, чтобы немного изменить механизм (длины звеньев, например, или углы жёстко связанных элементов), то  придётся всё делать по-новой. Т.е. программа будет написана только под один механизм. Мне с самого начала показалось, что затея была такова, чтоб задавать исходные точки механизма, а затем произвольно тягать точку F, наблюдая, как меняются остальные.

Теперь по графикам. Зачем вам строить 2 графика? Почему сразу не построить график (если уж следовать именно вашему методу) величины BD от угла AF? Для чего промежуточный график со временем? И откуда взяться времени, если неизвестен закон движения ниодного звена!?

Думаю ничего страшного в системах трансцендентных уравнениях нет. Они вполне решаемы численными методами.Скорее всего их можно реализовать на C++.

По поводу решения произвольных четырёхзвенников. Богатого опыта в этом не имею, но было бы интересно поразбираться, так, что можете описать вопрос, пообсуждаем. Может быть кто-то ещё подключится.

Изменено 28 февраля 2014 пользователем IgoryaN

[Dna 138]

Excalibur921 взвалил на себя задачу конечно внушительную.

Но может стоит продолжить копать в сторону Inverse Kinematics? Особенно в плане поиска source code под нужный язык? Вроде гуголь не отмалчивается на эту тему.

[Гость Excalibur921]

Вам удалось реализовать свой метод в виде программы?

Почему-то лень стало… теперь мучаю ADAMS.(видимо перегорел немного..)

 

Теперь по графикам. Зачем вам строить 2 графика? Почему сразу не построить график (если уж следовать именно вашему методу) величины BD от угла AF?

 

Можно и так. Вариантов масса, в этом и  красота математики.

 

Думаю ничего страшного в системах трансцендентных уравнениях нет.

Ну Matchad  и Mathematica  и научный форум не справились.

 

 

но было бы интересно поразбираться, так, что можете описать вопрос

Многократно расписан в этой ветке с мыслимыми и немыслимыми вопросами и уточнениями с 20 картинами =) и анимацией и видео…

 

Excalibur921 взвалил на себя задачу конечно внушительную.

Тоже так сначала думал, но как оказалось не Боги горшки обжигают.

А в итоге все свелось к азам ТММ, или еще проще, к тригонометрии школьного курса =)

 

Но может стоит продолжить копать в сторону Inverse Kinematics?

Зачем усложнять простой, понятный и быстрый метод не понятным и заумным?

 

 

Особенно в плане поиска source code под нужный язык? Вроде гуголь не отмалчивается на эту тему.

 

Опыт показывает, что готовые коды либо ошибочны, либо работают “c бубном и магией”

только у автора. Также как капельку программист, скажу теперь что не завидую людям которым приходится копать чужой код.

[IgoryaN 1]

Ну Matchad и Mathematica и научный форум не справились.

Причин может быть масса. Системы трансцендентных уравнений достаточно редко решаются в символьном виде. Поэтому, если вы именно этого ожидали от Маткада и Математики, то вот вам первая причина. Загоните в них мою систему уравнений, в символьном виде тоже не получите решения ))). Если решали численно, то выбор программ не самый оптимальный. Для таких целей подойдут больше Matlab, Scilab, Octave. Быть может и ошибочка какая закралась в уравнение (даже банальная - знак где-то не тот поставили"+/-") и система уже решений не имеет...

Изменено 1 марта 2014 пользователем IgoryaN

[Гость Excalibur921]

Причин может быть масса. Системы трансцендентных уравнений достаточно редко решаются в символьном виде.

http://www.cyberforum.ru/mathcad/thread1071189.html
http://www.cyberforum.ru/geometry/thread1076488.html

[IgoryaN 1]

IgoryaN сказал(а) 01 Мар 2014 - 12:03: Причин может быть масса. Системы трансцендентных уравнений достаточно редко решаются в символьном виде. http://www.cyberforu...ead1071189.html http://www.cyberforu...ead1076488.html

Я имел введу редко имеют решение в символьном виде.

А вы не могли бы привести пример расчёта нового положения точек вашего механизма вашим методом (с использованием школьной тригонометрии)? Так сказать весь материал одним постом с картинками и формулами )))) Скажем, даны координаты точек, F меняет своё положение, как найти вашим способом все точки, кроме А и F? А то у меня возникает ощущение, что я что-то не так понимаю.

По тем ссылкам решения конечного нет. К стати, про маткад, я там чиркнул об использовании Given и Find относительно проблем в вашем предпоследнем посте того форума.

Изменено 4 марта 2014 пользователем IgoryaN

[Гость Excalibur921]

А вы не могли бы привести пример расчёта нового положения точек вашего механизма вашим методом (с использованием школьной тригонометрии)?

 

Формулы? Формулы длинны отрезка по двум координатам( школьная), теорема косинусов( школьная).По сути все.

Суть всех методов расчета плоских стержневых механизмов – найти точку пересечения двух окружностей. Можно уравнениями, можно тригонометрические и т.д ?.Я использую теорему косинусов, сложение, вычитание углов при определенных условиях (учет тригонометрической четверти).Суть метода- оперирования длинами стержней, вычисление углов интересующих стержней, далее все банально, берем cos (угол)умножаем на длину стержня и т.п. стандартные методы тригонометрии.